Grenzwertberechnung einer Folge

12.08.2011, 15:22

moclus

Grenzwertberechnung einer Folge

$\begin{eqnarray*} a_{n} = (\frac{n²-2n+1}{n²-n})^n \end{eqnarray*}$

Ich hab in diese Folge mal aus Probe für n: 10000 eingesetzt und erhalte: $\begin{eqnarray*} 0.3678610464... \end{eqnarray*}$

wie soll man auf so einen grenzwert kommen?

12.08.2011, 15:24

Iorek

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Statt Zahlen einzusetzen, solltest du dir vielleicht Gedanken über mögliche Umformungen machen...

12.08.2011, 15:25

moclus

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Ich hab n² im zähler und im Nenner ausgeklammert und erhalte 2 !
Doch ich weiß nicht was ich mit "n" im exponenten machen soll :/ ?!

12.08.2011, 15:26

Mulder

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RE: Grenzwertberechnung einer Folge

Zitat:

Original von moclus
Ich hab in diese Folge mal aus Probe für n: 10000 eingesetzt und erhalte: $\begin{eqnarray*} 0.3678610464... \end{eqnarray*}$

Wenn ich dir nun sage, dass das dasselbe wie 1/e ist, klingelt dann was? Augenzwinkern

Edit: War ich so lahm? verwirrt

Naja, dann halte ich mich mal raus.

12.08.2011, 15:26

Iorek

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Schau dir doch mal den Zähler an, da kann man was anderes machen als $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ auszuklammern. Augenzwinkern

12.08.2011, 15:27

moclus

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leider nicht ... ich bin noch nicht sehr vertraut mit diesem themenkreis, kannst du mich vllt auf einen Link verweisen ? Dann kann ich mir dieses Wissen noch aneignen!

sieht aus wie eine binomische formel der Zähler. Kann ich das vereinfachen ?

12.08.2011, 15:28

Iorek

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Dann guck dich mal im [WS] Folgen um.

Und ja, die binomische Formel im Zähler solltest du umformen, ebenso kannst du etwas im Nenner ausklammern und danach lässt sich vielleicht etwas kürzen.

12.08.2011, 15:32

moclus

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ich kanns einfach nich kapieren das es hier keine "Kochrezepte" für gibt ... ich mach mich mal da ran ..

12.08.2011, 15:34

Iorek

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Kochrezepte gibt es generell keine in der Mathematik, auch wenn es sich hier um eine "Standardaufgabe" handelt, die man durchaus "nach Plan" abarbeiten kann.

12.08.2011, 15:37

moclus

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$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)(n-1)}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$

kann ich mit dieser Umformung nun weiter arbeiten?

12.08.2011, 15:39

Iorek

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Du könntest noch etwas kürzen.

12.08.2011, 15:44

moclus

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$\begin{eqnarray*} (\frac{n-1}{n})^n \end{eqnarray*}$

ist das nicht $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ?
wenn ich nun kürze hätte ich doch $\begin{eqnarray*} (1+ \frac{1}{n} )^n \end{eqnarray*}$
oder irr ich mich?

edit: sorry falsch hingeguckt!

12.08.2011, 15:49

Iorek

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Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} +\frac 1n \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Mulder hat dir in seinem Beitrag einen Tipp gegeben, in welche Richtung das laufen sollte.

12.08.2011, 15:51

Krinsekatze

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man hat doch dann nach dem kürzen

$\begin{eqnarray*} (\frac{n-1}{n}) ^{n} \end{eqnarray*}$

oder?

12.08.2011, 15:51

moclus

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Mulder hat $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ erwähnt, doch leider hab ich mit diesen Werten nie gearbeitet. Wie kann ich das denn so umformen das ich genau darauf komme :o ?

12.08.2011, 15:53

Krinsekatze

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$\begin{eqnarray*} (\frac{1-\frac{1}{n} }{1}) ^{n} \end{eqnarray*}$ oder?

12.08.2011, 15:55

moclus

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da ich leider nich weiß was 1/e ist .. weiß ich auch nich wann ich abschätzen soll ...

edit: und krinsekatze deinen beitrag versteh ich irgendwie nicht ... das wär doch 1-0 / 1 ?

12.08.2011, 15:55

Iorek

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Du kannst den Bruch natürlich nicht direkt auf $\begin{eqnarray*} \frac 1e \end{eqnarray*}$ umformen, das ist schließlich nur der Grenzwert.

Ist dir der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac 1n\right)^n \end{eqnarray*}$ bekannt? Kennst du die Grenzwertsätze?

Krinsekatze, was möchtest du mit diesem Bruch sagen? verwirrt

12.08.2011, 15:56

moclus

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würde das nicht auf $\begin{eqnarray*} 1^n \end{eqnarray*}$ führen oO? ergibt für mich jetzt keinen sinn ..

12.08.2011, 15:57

moclus

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ja die Zahl e ist mir bekannt! Mit den grenzwertsätzen bin ich nicht sehr vertraut!

12.08.2011, 16:08

Iorek

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Dann solltest du dir die Grenzwertsätze einmal anschauen, ohne kommt man hier nur schwer weiter.

12.08.2011, 16:12

moclus

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hab diese grenzwertsätze noch nie verstanden, unser lehrer hat sie irgendwie nie angewandt ...

12.08.2011, 16:13

Iorek

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Das ist aber doch kein Grund, sie nicht nachzuschlagen. unglücklich

12.08.2011, 16:15

moclus

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muss ich mich nun auf den grenzwertsatz für quotientenfolgen beschränken oder?

12.08.2011, 16:16

Krinsekatze

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ja ich habe jetzt den zähler und den nenner durch n geteilt aber ich habe ganz vergessen dass ja noch ^n um die klammer ist

somit ist es schrott sry

12.08.2011, 16:25

Iorek

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Du musst dich nicht darauf beschränken, aber später diese nach einer Umformung anwenden.

Wir haben $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n-1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ , das kann man jetzt (mit etwas Kreativität) passend umformen, um danach die Grenzwertsätze anzuwenden.

Da du schon weißt, dass $\begin{eqnarray*} \frac 1e \end{eqnarray*}$ der Grenzwert sein soll, kann man das bei den Umrofmungen mit ins Auge fassen und dementsprechend überlegen (Tipp: Kehrwert).

12.08.2011, 17:13

moclus

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ich sitz schon die ganze zeit hier und komme immer noch nicht darauf was du mit kehrwert meinst ... ich will es echt gerne verstehen

12.08.2011, 17:28

Iorek

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Was der Kehrwert ist, weißt du aber? Als Grenzwert erhalten wir ja anscheinend gerade den Kehrwert von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} a=\frac 1{\frac 1a} \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ ), wende das auf den Bruch in der Klammer an.

12.08.2011, 17:32

moclus

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das mit dem kehrwert hab ich nun verstanden was du meinst .. aber ich versteh den operator nicht den du da anwendest in deinem Beispiel .. tut mir leid das ich nichts versteh..

12.08.2011, 17:40

Iorek

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Das ist nur ein Doppelbruch, den ich erzeuge.

12.08.2011, 18:37

moclus

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ich komm nicht weiter :S

12.08.2011, 18:56

Krinsekatze

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hey also ich kann dein folgenproblem da nicht lösen da ich mich damit noch nicht so gut auskenne aber was ein doppelbruch ist solltest du wissen

12.08.2011, 18:56

Iorek

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Deine Antwort ist da auch nicht gerade hilfreich. unglücklich

Wenn du eine Zahl (außer 0) hast, kannst du diese mit Hilfe ihres Kehrwertes in einem Doppelbruch ausdrücken. $\begin{eqnarray*} 2=\frac 1{\frac 12}=1:\frac 12 = 1\cdot \frac 21 = 2 \end{eqnarray*}$ , jetzt mach das nicht für $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , sondern für den Ausdruck in der Klammer, $\begin{eqnarray*} \frac {n-1}n \end{eqnarray*}$ .

12.08.2011, 19:06

moclus

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$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\frac{1}{1} }{\frac{n-1}{n} }\right)^n = \left(\frac{1}{\frac{n-1}{n} } \right)^n \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?

12.08.2011, 19:08

Iorek

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Nein, du hast in den Nenner nicht den Kehrwert des Ausdrucks gesetzt.

12.08.2011, 19:12

moclus

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$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\frac{1}{1} }{\frac{n-1}{\frac{1}{\frac{1}{n} } } } \right)^n = \left(\frac{\frac{1}{n-1} }{\frac{1}{n} } \right)^n \end{eqnarray*}$

kommt nun die Anwendung der grenzwertsätze?!

12.08.2011, 19:13

Iorek

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Ich weiß gerade nicht, was du da machst... unglücklich

Wie lautet der Kehrwert von $\begin{eqnarray*} \frac {n-1}n \end{eqnarray*}$ ?

12.08.2011, 19:14

moclus

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ich habs doch versucht! Ich mach es auch zum erstenmal und finds ehrlich gesagt sehr komplex :S ...

12.08.2011, 19:16

Iorek

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Den Grenzwert korrekt zu bestimmen ist zwar nicht ganz so einfach, aber den Kehrwert von diesem Ausdruck wirst du doch wohl bestimmen können, oder?

Wenn du bisher noch nicht mit Folgen gearbeitet hast, sollten wir hier aufhören und ich empfehle dir, dich erstmal gründlich in den Stoff einzulesen und ein paar andere Beispielaufgaben zu bearbeiten.

12.08.2011, 19:17

moclus

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ich hatte bisher mit folgen zu tun .. doch leider nur nach dem Stand der Fachoberschule in Nordrhein Westfalen ...

in der Schule wurden wir mit Folgen konfrontiert wie z.B.
$\begin{eqnarray*} \frac{4n+2}{5n-1} \end{eqnarray*}$

ich versuch mir halt das Wissen selber anzueignen damit ich mal irgendwann weitermachen kann was Bildung angeht .. ich finds ehrlich gesagt schon recht kompliziert.

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