"Performing a 2-surgery"-Verständnisproblem

12.08.2011, 17:03	TobeStar81	Auf diesen Beitrag antworten »
"Performing a 2-surgery"-Verständnisproblem Meine Frage: Hallo zusammen, ich beschäftige mich gerade mit einem Paper und komme an einer Stelle nicht weiter. Da ich mir bei den Übersetzungen nicht sicher bin, werde ich mich an den englischen Text halten. Zunächst gibt es eine Definition: A double bubble is a 2-complex (S,D) consisting of a sphere S and a disk D glued along its boundary to a simple loop in S. The curve $\begin{eqnarray} \partial D \subset S \end{eqnarray}$ thus divides S into two disks, and gluing either one of these disks to D along their common boundary, we get two spheres, which we refer to as the two halves of the double bubble. When we say that a double bubble (S,D) is embedded in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ , it is required that D is contained in int(S). So weit, so gut. Als nächstes wird ein Satz formuliert und folgendermaßen startet der Beweis: Let $\begin{eqnarray} \{S_t\}_{t \in [0,1]} \end{eqnarray}$ be a one-parameter family of embedded spheres, definded by starting with $\begin{eqnarray} S_0=S \end{eqnarray}$ and performing a 2-surgery along D as t varies from 0 to 1... Nun werde ich daraus nicht wirklich schlau. Ich verstehe das so, dass sich die Einbettung von $\begin{eqnarray} S_t \end{eqnarray}$ nicht ändert, wenn sich t ändert, wäre das so richtig? Wenn doch, wären die Änderungen stetig? Was genau bedeutet "performing a 2-surgery along D as t varies..."? Ich hätte gedacht, dass diese "surgery" die in der Definition beschriebene Verklebung von D mit S ist, aber für mich ist das etwas, das zu einem Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t_0 \in [0,1] \end{eqnarray}$ stattfindet, warum also dieses "Zeitintervall" [0,1]? Für Tipps/Ideen oder gar Erklärungen wäre ich euch sehr dankbar! Viele Grüße Tobias Meine Ideen: Keine weiteren Ideen...
12.08.2011, 18:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition der double bubble ist ja noch verständlich. Wrum verschweigst du den zu beweisenden Satz ? Der trägt ganz bestimmt zum Verständnis des Beweises bei.
12.08.2011, 20:34	TobeStar81	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, erst mal danke, dass du dich damit beschäftigt hast. Das Problem mit dem Satz ist, dass der Beweis auf zwei anderen Sätzen beruht, die vorher schon bewiesen wurden und in dem hier zu beweisenden Satz taucht weder das Wort "surgery" noch die Familie $\begin{eqnarray} \{S_t\} \end{eqnarray}$ auf, deswegen habe ich ihn vorenthalten (weil er doch recht lang ist). Aber ich hab das ganze jetzt auch mal zwei Stunden beiseite gelegt und noch mal drauf geschaut und ich denke nun verstehe ich, was gemeint ist (ich hatte am Ende des Beweises etwas missverstanden). Hier meine Erklärung, für jeden den es interessiert Demnach wird die Sphäre $\begin{eqnarray} S_0=S \end{eqnarray}$ durch eine spezielle Modifikation (Schnitt+Verklebung=surgery) in zwei Sphären aufgespalten, jede dieser beiden Sphären liegt dann -nach Konstruktion- in einer der Halbkugeln der doble bubble. Dabei ist es relativ egal, ob sich $\begin{eqnarray} \{S_t\} \end{eqnarray}$ verändert oder nicht. $\begin{eqnarray} S_t \end{eqnarray}$ darf sich lediglich einmal trennen. So kommt man über die spezielle Aussage, die man über die dobble bubble beweisen wollte. Gruß Tobi
13.08.2011, 11:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke. Engl. "surgery" heißt dt. "Chirurgie" und in der Toplogie ist das nichs anderes als "Schneiden und Kleben".

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