Rekonstruktion einer Parabel mit gegebener Fläche

12.08.2011, 19:28	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekonstruktion einer Parabel mit gegebener Fläche schaut mal nur, ob das so in Ordnung ist, oder ob da noch hie und da etwas zu beanstanden wäre. Die Aufgabe Welche Parabel K: $\begin{eqnarray} y=c-x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (c>0) \end{eqnarray}$ schließt mit der x-Achse ein 2 FE große Fläche ein? Vorüberlegungen Die Parabel der Form $\begin{eqnarray} y=c-x^2 \end{eqnarray}$ ist symmetrisch zu y-Achse, daher teile ich die Fläche in zwei gleich große Teile; $\begin{eqnarray} \left\| \frac{A}{2} \right\| = \left\| A_1 \right\| = \left\| A_2 \right\| = 1 \end{eqnarray}$ Lösungsansatz $\begin{eqnarray} \int\limits_{0}^{x_1} \mathrm c-x^2\,\mathrm dx = 1 \end{eqnarray}$ Rechnung $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ist Nullstelle der Funktion $\begin{eqnarray} 0=-x^2+c<br /> x^2=c<br /> x=\pm \sqrt{c}<br /> x_1 = \sqrt{c}<br /> \end{eqnarray}$ Stammfunktion ist $\begin{eqnarray} F(x) = -\frac{x^3}{3}+c \cdot x + C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(\sqrt{c})+C-\left(F(0)+C\right) = 1<br /> F(\sqrt{c})+C-F(0)-C = 1<br /> F(\sqrt{c})-F(0) = 1<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3}\left(\sqrt{c}\right)^3+c \cdot \sqrt{c} - (-\frac{1}{3}\left(0\right)^3+c \cdot 0 =1<br /> -\frac{1}{3}\left(\sqrt{c}\right)^3+c \cdot \sqrt{c} - 0=1<br /> -\frac{1}{3}\left(c^{\frac{1}{2}}\right)^3+c^1 \cdot c^{\frac{1}{2}} - 0=1<br /> -\frac{1}{3}c^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1<br /> \frac{2}{3}c^{\frac{3}{2}}=1<br /> c^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}<br /> \sqrt{c^3}=\frac{3}{2}<br /> c^3=\frac{9}{4}<br /> c=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}<br /> \end{eqnarray}$ Ergebnis $\begin{eqnarray} c=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}<br /> f(x)=-x^2+\sqrt[3]{\frac{9}{4}} \end{eqnarray}$ Probe $\begin{eqnarray} \int\limits_{0}^{\sqrt[6]{\frac{9}{4}}} \mathrm -x^2 + {\sqrt[3]{\frac{9}{4}}}\,\mathrm dx = 1 \end{eqnarray}$
12.08.2011, 21:44	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Deine Rechung ist richtig, wenn auch am Ende (bei deiner Probe) etwas ungünstig dargestellt: du hast ja $\begin{eqnarray} \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ Du rechnest nun das Quadrat davon und dann die 3. Wurzel. Das ist etwas ungünstig, denn dann übersiehst du etwas: jetzt musst du ja, um deine obere Integrationsgrenze zu bekommen daraus wieder die Wurzel ziehen, also nochmals hoch 1/2, was ja nichts anderes ist als: $\begin{eqnarray} \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}}\,=\,\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ jetzt kürzt sich schön die 2 und dein Ergebnis sieht etwas "schöner" aus ;-) Und sosnt fehlt hier nur eine geschlossene Klammer: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3}\left(\sqrt{c}\right)^3+c \cdot \sqrt{c} - (-\frac{1}{3}\left(0\right)^3+c \cdot 0 =1 \end{eqnarray}$ Ansonsten würde ich sagen, sieht das sehr ordentlich aus! Gruß Johnsen
13.08.2011, 10:59	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
danke dir Johnson Klar! Jetzt wo du's sagst, das mit der Wurzel hätte ich sehen können. Ich habe mich noch gefragt: Man schreibt die Stammfunktion doch auch oft in eckige Klammern und direkt hinter das Integral $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}f(x)dx = \left[ F(x) \right]_{a}^{b} \end{eqnarray}$ einschließlich der Integrations-Grenzen. Muss ich das unbedingt machen (rein formal) oder kann ich die Stammfunktion auch (wie oben) extra schreiben mit $\begin{eqnarray} F(x)= ... \end{eqnarray}$ ?
13.08.2011, 13:16	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also aus meiner Sicht ist das so in Ordnung wie du das geschrieben hast. Du hast ja nicht alles in einer Rechnung, sonder aufgeteilt. Wenn du alles in einer Zeile geschrieben hättest, dann kannst du es so machen: $\begin{eqnarray} \int\limits_{a}^{b} \mathrm c-x^2\,\mathrm dx \,=\,\left[cx-\frac{1}{3}x^3+K\right]_a^b\,=\,... \end{eqnarray}$ Aber wie gesagt, du hast ja eine neue Zeile angefangen und dann die explizite Stammfunktion ausgerechnet. Sieht wirklich sehr sauber aus! Gruß Johnsen

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