Potenzen zusammenfassen etc.

12.08.2011, 21:37

Ascareth

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Potenzen zusammenfassen etc.

Hallo,

habe hier ein paar Aufgaben, die ich gern einmal kontrolliert wüßte.

$\begin{eqnarray*} -32 \cdot (-2)^{n}=-2^5 \cdot [-(2)^n]=2^{5n}=(-1) \cdot 2^5 \cdot [(-1) \cdot (2)^n ]=(-1) \cdot (-1) \cdot 2^5 \cdot 2^n=2^{5n} \end{eqnarray*}$

Erstmal die nur. Stimmt die?

12.08.2011, 21:41

Krinsekatze

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da ist dir ein kleiner fehler unterlaufen

$\begin{eqnarray*} 2^5*2^n=2^{5+n} \end{eqnarray*}$ so ists richtig

12.08.2011, 21:44

Krinsekatze

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denk an die potenzgesetze

$\begin{eqnarray*} a^{r+s} =a^{r} +a^{s} \end{eqnarray*}$

12.08.2011, 21:44

Helferlein

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und $\begin{eqnarray*} (-2)^n=-(2^n) \end{eqnarray*}$ ist im allgemeinen auch nicht richtig.

12.08.2011, 21:47

Krinsekatze

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oh stimmt das hab ich übersehen smile

smile

12.08.2011, 21:54

Krinsekatze

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könnte man es dann so machen

$\begin{eqnarray*} (-2)^{5} *(-2)^{n} =(-2)^{n+5} \end{eqnarray*}$ ?

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12.08.2011, 21:55

Tesserakt

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Zitat:

Original von Krinsekatze
denk an die potenzgesetze

$\begin{eqnarray*} a^{r+s} =a^{r} +a^{s} \end{eqnarray*}$

Meinst du nicht eher $\begin{eqnarray*} a^{r + s} = a^r \cdot a^s \end{eqnarray*}$ ?

12.08.2011, 21:57

Krinsekatze

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hey ja natürlich

ich bin heute nicht ganz bei mir sry sry sry

unglücklich

unglücklich

12.08.2011, 22:04

tigerbine

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Zitat:

Original von Krinsekatze
ich bin heute nicht ganz bei mir sry sry sry

unglücklich

unglücklich

Dann vielleicht mal eine Pause machen? Idee!

Idee!

?

12.08.2011, 22:08

Ascareth

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$\begin{eqnarray*} a^n \cdot a^m=a^{n+m} \end{eqnarray*}$

... ist mir schon klar. Mein Ergebnis ist demzufolge natürlich falsch. Ich würde davon ausgehen, dass herauskommen muss:

$\begin{eqnarray*} 2^{5+n} \end{eqnarray*}$

Könnte jemand der sich sicher ist, einmal seinen Lösungsweg zeigen bitte?

12.08.2011, 22:12

Tesserakt

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Zitat:

Original von Ascareth
$\begin{eqnarray*} a^n \cdot a^m=a^{n+m} \end{eqnarray*}$

... ist mir schon klar. Mein Ergebnis ist demzufolge natürlich falsch. Ich würde davon ausgehen, dass herauskommen muss:

$\begin{eqnarray*} 2^{5+n} \end{eqnarray*}$

Könnte jemand der sich sicher ist, einmal seinen Lösungsweg zeigen bitte?

$\begin{eqnarray*} -32 \cdot (-2)^n = (-2)^5 \cdot (-2)^n = (-2)^{5 + n} \end{eqnarray*}$

Aber das wurde dir doch schon mitgeteilt...?

12.08.2011, 22:23

Ascareth

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Naja, also -32 könnte aber auch bedeuten: - 2^5. -2^5 und (-2)^5 könnte doch beides richtig sein oder?

12.08.2011, 22:30

Tesserakt

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Zitat:

Original von Ascareth
Naja, also -32 könnte aber auch bedeuten: - 2^5. -2^5 und (-2)^5 könnte doch beides richtig sein oder?

Natürlich ist auch $\begin{eqnarray*} -2^5 = (-2)^5 = -32 \end{eqnarray*}$ , aber nur, weil der Exponent ungerade ist. Für gerade Exponenten gilt dies nicht. Und über den Exponenten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ haben wir ja auch nicht gesagt, ob er gerade oder ungerade ist. Deswegen muss man die $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ in Klammern setzen.

Du musst ganz klar unterscheiden zwischen $\begin{eqnarray*} (-a)^b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -a^b \end{eqnarray*}$ . Das erste bedeutet "-a hoch b" und das zweite bedeutet "a hoch b und das mal minus 1". Bei ungeraden b sind zwar beide Terme gleichwertig, trotzdem sagen sie etwas anderes aus.

12.08.2011, 22:35

tigerbine

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Warum schreibt ihr das so lapidar hin? Zieht doch mal die -1 raus, um es klar zu machen? Nur eine Anregung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (-2)^5 = (-1)^5 \cdot 2^5 = (-1) \cdot 2^5 = -2^5 \end{eqnarray*}$

13.08.2011, 07:56

Ascareth

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Zitat:

Original von Tesserakt

Zitat:

Original von Ascareth
Naja, also -32 könnte aber auch bedeuten: - 2^5. -2^5 und (-2)^5 könnte doch beides richtig sein oder?

Natürlich ist auch $\begin{eqnarray*} -2^5 = (-2)^5 = -32 \end{eqnarray*}$ , aber nur, weil der Exponent ungerade ist. Für gerade Exponenten gilt dies nicht. Und über den Exponenten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ haben wir ja auch nicht gesagt, ob er gerade oder ungerade ist. ...

Deswegen bin ich der Ansicht, dass man die Aufgabe gar nicht eindeutig lösen kann. Man kann nicht wissen was gemeint ist, ohne einen weiteren Potzenzwert für die Zweierbasis zu sehen. Wenn man außerdem noch 64 kennen würde, oder eben 16, könnte man sagen (-2)^5. Sonst muss man davon ausgehen, dass -32 eben auch richtig wäre. Das passt dann natürlich nicht so schön mit der anderen Basis (-2) zusammen, aber darauf kommts ja auch nicht an.

Zumindest sehe ich das so. Und ich denke das kann man auch so sehen oder? Man weiß halt einfach nicht, wie sich der Potenzwert für einen anderen Exponenten verhält.

13.08.2011, 08:28

IfindU

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Geht es dir um die Lösung - oder die Darstellung der Lösung? Falls es um die Darstellung geht, ist diese natürlich nicht eindeutig, man kann ohne Probleme unendlich viele angeben, der repräsentierte Wert ist aber eindeutig.

13.08.2011, 13:45

Ascareth

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Zitat:

Original von IfindU
Geht es dir um die Lösung - oder die Darstellung der Lösung? Falls es um die Darstellung geht, ist diese natürlich nicht eindeutig, man kann ohne Probleme unendlich viele angeben, der repräsentierte Wert ist aber eindeutig.

Verstehe ich nicht ganz. Könntest du das noch etwas einfacher formulieren?

Wo unterscheidest du zwischen dem "repräsentativen Wert" und der Lösung?

Ich bin mir da zwar nicht ganz sicher, aber für mich sieht es aus, als könnte man einfach nicht genau sagen, ob man nun mit (-2)^5, oder mit -2^5 gerechnet hat, um auf -32 zu kommen. Es wäre ja Beides richtig, aber eben doch unterschiedlich. Worin liegt der Unterschied jetzt? In der Präsentation, oder in der Lösung?

13.08.2011, 13:56

tigerbine

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Er meint damit, dass ja z.B. 2*3 und 6 unterschiedliche Darstellungen der gleichen Zahl sind. Die Darstellung ist also nicht eindeutig, das Ergebnis an sich aber schon.

$\begin{eqnarray*} -32 \cdot (-2)^{n}= (-1)\cdot 2^{5} \cdot (-1)^n\cdot 2^n = (-1)^{n+1} \cdot 2^{n+5} \end{eqnarray*}$ [eindeutiges Ergebnis]

Ohne n konkret zu kennen, ist da erst mal Schluss, oder man macht sich noch eine Fallunterscheidung [d.h. aber nicht, dass das Ergebnis nicht eindeutig ist!] Ob man diese Darstellung macht, hängt rein vom Kontext ab, d.h. ob sie einen konkreten Mehrwert/Nutzen hat.

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \cdot 2^{n+5} = \begin{cases} \quad 2^{n+5} & n \text{ ungerade} \\-2^{n+5} & n \text{ gerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zitat:

(-2)^5, oder mit -2^5 gerechnet hat, um auf -32 zu kommen

Warum sollte man das auch? 3+3=6, 2+4=6. Woher willst du wissen, wie man auf die 6 gekommen ist?

$\begin{eqnarray*} (-2)^5 = (-1)^5\cdot 2^5 = (-1) \cdot 2^5 = -32 \end{eqnarray*}$

Und es ist eben auch

$\begin{eqnarray*} -2^5 = -32 \end{eqnarray*}$

Es kommt nun doch darauf an, was bei dir als Start gegeben war und nicht, wie man [zufällig] das gleiche Ergebnis auch anders erhalten kann.

13.08.2011, 19:55

Ascareth

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Dann könnte man also sagen, dass es mehrere Repräsentanten der Lösung gibt, die alle akzeptabel wären, und im konkreten Fall mit (-2)^5 gerechnet werden sollte, weil es sich für die Zusammenfassung geschickter ist.

13.08.2011, 20:06

tigerbine

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Zitat:

ann könnte man also sagen, dass es mehrere Repräsentanten der Lösung gibt, die alle akzeptabel wären

Ja.

Zitat:

und im konkreten Fall mit (-2)^5 gerechnet werden sollte, weil es sich für die Zusammenfassung geschickter ist.

Nein, denn hier habe ich es dir doch vorgerechnet.

$\begin{eqnarray*} -32 \cdot (-2)^{n}= (-1)\cdot 2^{5} \cdot (-1)^n\cdot 2^n = (-1)^{n+1} \cdot 2^{n+5} \end{eqnarray*}$

13.08.2011, 21:23

Ascareth

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Also ich hatte ja anfangs folgendes heraus:

EDIT (Klammer fehlte):
$\begin{eqnarray*} -32 \cdot (-2)^n=(-2)^5 \cdot (-2)^n=(-2)^{n+5} \end{eqnarray*}$

Das ist ja dann falsch ^^. Oder ist das nur eine andere Schreibweise? ... Kann ich leider nicht erkennen.

Ich hätte auch noch etwas aus wolframalpha anzubieten:

$\begin{eqnarray*} -(-1)^n 2^{n+5} \end{eqnarray*}$

Das ist für mich auch nicht das Selbe wie:

$\begin{eqnarray*} -32 \cdot (-2)^{n}= (-1)\cdot 2^{5} \cdot (-1)^n\cdot 2^n = (-1)^{n+1} \cdot 2^{n+5} \end{eqnarray*}$

Oder sehe ich das falsch??

13.08.2011, 21:27

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} -32 \cdot (-2)^n=(-2)^5 \end{eqnarray*}$

Gib mit einen plausiblen Grund für diese Umformung an! Im Gegensatz zu:

$\begin{eqnarray*} -32 = (-1)\cdot 2^{5} \end{eqnarray*}$

13.08.2011, 22:41

Ascareth

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} -32 \cdot (-2)^n=(-2)^5 \end{eqnarray*}$

Gib mit einen plausiblen Grund für diese Umformung an! Im Gegensatz zu:

$\begin{eqnarray*} -32 = (-1)\cdot 2^{5} \end{eqnarray*}$

Ich mache aus -32 -> (-2)^5. Aber wie gesagt: es könnte ja auch - 2^5 sein. Das ist für den Zahlenwert egal. Aber für die Operation mit dem anderen Term nicht. Also:

$\begin{eqnarray*} -32 \cdot (-2)^n=(-2)^5 \cdot (-2)^n=(-2)^{n+5} \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier gleiche Basen mache, dann kann ich die Exponenten zusammenfassen. Sonst nicht.

13.08.2011, 22:48

tigerbine

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Zitat:

h mache aus -32 -> (-2)^5. Aber wie gesagt: es könnte ja auch - 2^5 sein. Das ist für den Zahlenwert egal.

Und die entscheidende Frage ist doch, warum machst du das. Da drückst du dich. Es ist völlig unlogisch, das so zu tun, und geht nur gut, weil der Exponent ungerade ist. Im Gegensatz zu:

$\begin{eqnarray*} -16 \neq (-2)^4 \end{eqnarray*}$

Wenn du Basen gleich machen willst, was ja ein guter Gedanke ist, sollte das aber so aussehen [wie schon gepostet]

$\begin{eqnarray*} -32 \cdot (-2)^{n}= (-1)\cdot 2^{5} \cdot (-1)^n\cdot 2^n = (-1)^{n+1} \cdot 2^{n+5} \end{eqnarray*}$

13.08.2011, 23:01

Ascareth

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Dachte das hätte ich gesagt ^^. Ich mache das selbstverständlich nur, weil ich die Basen gleichnamig machen will, und weil es für mich so eingängig erscheint.

Bei einem Potenzwert der in einem geradzahligen Exponenten ausgedrückt hätte werden müssen, wäre ich natürlich anders vorgegangen. Da hätte ich dann (-1) von (-2)^n ausgeklammert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das mit dem Ausklammern von (-1) ist dann aber wohl die Weise, die man vorziehen sollte.

Aber der Gedanke die Basen gleichnamig machen zu wollen, scheint ja bei beiden Weisen die Triebkraft gewesen zu sein. Was ja auch nicht falsch ist.

13.08.2011, 23:05

tigerbine

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Es war mir, vielleicht uns, eben nicht klar, weil man es so eigentlich nicht macht, um die gleiche Basis zu bekommen. Da gehen eher Alarmglocken an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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