Affine (?) Abbildung

13.08.2011, 11:11	AchimII	Auf diesen Beitrag antworten »
Affine (?) Abbildung Meine Frage: Hallo Zusammen, vornweg gesagt, ich bin kein Mann des Fachs und kann schlecht einordnen, ob sich meine Problematik auch mit Schulmathematik lösen lässt, daher habe ich das Thema unter Hochschulmathematik eingeordnet. Folgendes Problem beschäftigt mich: Ich programmiere ein System, welches in einem 3-Dimensionalen Raum Punkte anfahren kann. Das Ganze soll völlig automatisch bestimmte Punkte auf einer Ebene abfahren und Markierungen auf einer Oberfläche (sagen wir ein Schachbrett) setzen. Dieses Schachbrett befindet sich aber nicht immer an derselben Stelle, sondern liegt irgendwo in dem erreichbaren Raum, teilweise auch mit unterschiedlichen Raumwinkeln. Meine Idee ist, 3 vorher bestimmte Punkte des Schachbretts anzufahren und die Koordinaten (X,Y,Z) zu speichern. Theoretisch müsste ich mit den 3 Koordinaten die Positionen der restlichen Schachfelder errechnen können. Meine mangelhaften Kenntnisse in dem Gebiet haben mich über das Internet in Richtung ?Affine Abbildungen? gebracht. Allerdings bin ich mir immer noch nicht sicher, ob das der Richtige Ansatz ist, mit möglichst wenigen Rechenschritten auf alle Koordinaten zu transformieren. Falls das Problem einfach zu lösen ist wäre ich über einen konkreten Ansatz sehr dankbar, andernfalls über eine Bestätigung in Sachen ?Affine Abbildungen? und falls es so Etwas gibt auch über einen Tipp zu ?leicht? verständlicher Literatur in diese Richtung. Vielen Dank im Voraus Meine Ideen: Affine Abbildungen Koordinatentransformation
13.08.2011, 18:45	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Affine (?) Abbildung Am einfachsten wäre es, wenn du die Oberfläche deines Schachbrettes mit einem zweidimensionalen Koordinatensystems versiehst. Du könntest z.B. die Ecke unten Links als (0\|0) festlegen und die Y-Achse entlang der linken Kante nach oben, die X-Achse entlang der unteren Kante nach rechts verlaufen lassen und mit Einheiten versehen. Damit hätte jeder Punkt auf dem Brett eindeutige Koordinaten. Als die 3 Punkte, die du abfahren willst, könnte man $\begin{eqnarray} P_1(0\|0) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} P_2(1\|0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_3(0\|1) \end{eqnarray}$ nehmen. Nehmen wir an, die 3-D-Koordinaten nach Verschiebung des Brettes im Raum wären $\begin{eqnarray} P_1=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix},P_2=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix},P_3=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann lassen sich die neuen 3-D-Koordinaten eines beliebigen Punktes $\begin{eqnarray} P(x\|y) \end{eqnarray}$ auf der Oberfäche wie folgt errechnen: $\begin{eqnarray} Abbildung: P'=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}+x\begin{pmatrix} a_1-v_1 \\ a_2-v_2 \\ a_3-v_3 \end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} b_1-v_1 \\ b_2-v_2 \\ b_3-v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn du statt $\begin{eqnarray} P_1(0\|0) \end{eqnarray}$ ,etc.beliebige Punkte $\begin{eqnarray} P_1(x_1\|y_1) \end{eqnarray}$ ,etc. nehmen willst, müsstest du zusammen mit den anderen 2 Punkten ein Gleichungssystem aus 9 Gl. aufstellen,wobei du in der Abbildungsvorschrift x und y durch die 2-D-Koord. der Punkte ersetzt und als 3-D-Koord. die den Punkten entsprechenden herausbekommen musst. Zu lösen wären dann die Koordinaten der 3 Vektoren.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »