r_vektorraum über R

13.08.2011, 18:49

karlmat

r_vektorraum über R

hallo,

ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -vr?

ich glaube ja, aber dann ist ein skallar ja das selbe wie ein vektor?
und ich habe gehort dass ein 1-dim-vektor KEIN skallar ist!

wie verstehe ich das?

danke

13.08.2011, 19:07

gonnabphd

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Hi,

Ja, du liegst richtig, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum über sich selbst ist.

Zitat:

ich glaube ja, aber dann ist ein skallar ja das selbe wie ein vektor?
und ich habe gehort dass ein 1-dim-vektor KEIN skallar ist!

Im allgemeinen ist ein Vektor in einem eindimensionalen Vektorraum auch nicht dasselbe wie ein Skalar.

z.B. die Menge (der Funktionen) $\begin{eqnarray*} \{Ce^x \,|\, C \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ bildet in natürlicher Weise einen 1-dimensionalen IR-Vektorraum, aber $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist kein Skalar, sondern die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto e^x \end{eqnarray*}$ .

Betrachtet man jedoch IR über sich selber, dann finde ich es nicht sehr sinnvoll, zwischen Vektor und Skalar zu unterscheiden (mal davon abgesehen, dass ich mir nicht vorstellen kann, wie man das praktisch gesehen machen sollte).

Ein anderes Beispiel für einen eindimensionalen IR-Vektorraum wäre z.B.

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} \lambda \\ 2\lambda \end{pmatrix} \,\Big|\, \lambda \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

Da sieht man auch wieder, dass die 1-dim Vektoren keine Skalare sind.

13.08.2011, 19:41

karlmat

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bei deinen funktionen (menge)
wie ist denn die verknüpfung +: VxV->V und *:RxV->V definieren?

leider bin ich anfanger und kann mir das nicht so gut vorstellen

13.08.2011, 21:50

gonnabphd

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Das ist einfach die ganz normale punktweise Addition und Multiplikation: d.h.

$\begin{eqnarray*} Ce^x + De^x := (C+D)e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (Ce^x) := (\lambda\cdot C)e^x \end{eqnarray*}$

Ein bisschen formaler (ich bezeichne die Menge mal mit V)

$\begin{eqnarray*} &+:& V \times V \to V, \quad (Ce^x, De^x) \mapsto (C+D)e^x\\<br /> &\,\cdot \, :& \mathbb R \times V \to V, \quad (\lambda, Ce^x) \mapsto \underbrace{(\lambda C)}_{\substack{\text{Multiplikation}\\ \text{ in $\mathbb R$}}}e^x<br /> \end{eqnarray*}$

(Ist vielleicht am Anfang noch ein bisschen kompliziert, dass solche Funktionenräume auch Vektorräume sind und von daher war mein Beispiel nicht so toll. unglücklich

)

14.08.2011, 11:16

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \mathbb R=\mathbb R^1 \end{eqnarray*}$ ist der Vektorraum der Funktionen von $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . So gesehen sind die Vektoren (Funktionen) keine Skalare (Zahlen).
Als algebraische Strukturen sind der Körper $\begin{eqnarray*} K=(\mathbb R,+,\cdot) \end{eqnarray*}$ und der Vektorraum $\begin{eqnarray*} V=(\mathbb R,+,*) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ völlig verschieden. Im Körper kannst du Elemente miteinander multiplizieren, im Vektorraum nicht.

14.08.2011, 14:39

karlmat

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hallo

das mit den funktionen ist mir noch nicht verstandlich so richtig.

wie gonnabphd schon zwar gut geschrieben hat, aber ich weiss nicht was dieses Ce^x bedeutet . vorher sagst du ja, dass wöre C aus R (und Ce^x mit causR wäre menge von funktionen), aber ich weiß nicht warum das eine funktione/menge von funktionen ist ! das sieht so aus wie multiplikation einfach?

wie verstehe ich? $\begin{eqnarray*} x\mapsto e^x \end{eqnarray*}$ ist ein skalar?
aber danach hast du ja geschrieben "*: RxV -> V, ..." das heisst ja dasss R der skalar -korper ist? dann mussen skalare doch aus R kommen?

und was bedeutet "punktweise Addition und Multiplikation"?

14.08.2011, 15:00

gonnabphd

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@karlmat: $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist die Exponentialfunktion. Wenn du der noch nie über den Weg gelaufen bist, dann solltest du das Beispiel am besten einfach wieder vergessen.

Wenn du genaueres über Funktionenräume als Vektorräume wissen willst, dann blättere vielleicht mal ein bisschen weiter nach hinten in deinem LinAlg Buch. Dort wird das sicher noch vorkommen.

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