Orthonormalbasis ergänzen

13.08.2011, 19:16	IngNano	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis ergänzen Hallo, ich habe hier eine Aufgabe gelöst (Danke Danke an den Helfer!), in der es darum ging eine Orthonormalbasis eines Untervektorraumes im R4 zu ermitteln. Auf dieser Seite unten (13. Beitrag): Orthonormalbasis Aber jetzt muss ich die gefundene Basis zu einer Orthonormalbasis in ganz R4 ergänzen. Ich weiß jetzt aber nicht ob es reicht, wenn ich einfach einen linearunabhängigen Vektor an die Orthonormalbasis des Untervektorraumes hinzufügen soll. (Wahrscheinlich nicht?) Gibt es eigentlich immer nur eine Lösung der Orthonormalbasis für einen bestimmten Vektorraum oder kann es verschiedene geben?
13.08.2011, 20:05	IngNano	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier hab ich euch mal die Vektoren rausgeschrieben, die die Orthonarmalbasis bilden: $\begin{eqnarray} v1= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}, v3= \begin{pmatrix} -0,5 \\ 0,5 \\ 0,5 \\-0,5\end{pmatrix},v4=\frac{\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0\\ 0\\-0,5 \end{pmatrix} }{\sqrt{0,5} } \end{eqnarray}$ Danke
13.08.2011, 20:49	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich gibt es mehrere! Denke an den $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ . Nimm das kanonische ONB \|_ und drehe es in alle Richtungen! Die ONB aus der Aufgabe zu ergänzen, würde ich wie folgt machen. Aufjedenfall hattest du doch eine (beliebige) Basis $\begin{eqnarray} u_1, u_2, u_3 \end{eqnarray}$ des Unterraums, welche du mit Gram-Schmidt orthonormalisiert hast. Ergänze $\begin{eqnarray} u_1, u_2, u_3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u_4 \end{eqnarray}$ zu einer Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ und wende nochmal Gram-Schmidt an. Du merkst, dass die ersten drei Iterationen völlig gleich laufen wie bei deiner ersten Bestimmung, das musst du nicht mal berechnen Den letzten Schritt musst du dann rechnen, um $\begin{eqnarray} v_4 \end{eqnarray}$ zu bekommen.

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