Offene Mengen in R-Dach ;)

14.08.2011, 12:29

mathinitus

Offene Mengen in R-Dach ;)

Ich habe mal einen kleinen Teil aus einem Mathe-Skript angehängt.

Ich sehe die Sache etwas anders. Nach der Aussage ist die Menge $\begin{eqnarray*} \{\infty\} \end{eqnarray*}$ offen, weil ja auch die leere Menge offen ist. Doch wenn man sich die Metrik anschaut, dann kann ich keine Umgebung von $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ finden, so dass die Umgebung $\begin{eqnarray*} \{\infty\} \end{eqnarray*}$ bleibt, in jeder Umgebung von $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ sind doch positive reelle Zahlen enthalten, oder?

14.08.2011, 14:05

gonnabphd

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Zitat:

Nach der Aussage ist die Menge $\begin{eqnarray*} \{\infty\} \end{eqnarray*}$ offen, weil ja auch die leere Menge offen ist.

Könntest du das mal beweisen? Ich sehe nicht, wie du darauf kommst; Also wie

$\begin{eqnarray*} \varnothing \text{ offen} \; \implies \; \{\infty\} \text{ offen} \end{eqnarray*}$

Wink

14.08.2011, 14:29

Ungewiss

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Ich nehme an, weil $\begin{eqnarray*} \{\infty \} \cap \mathbb{R} = \varnothing \end{eqnarray*}$

14.08.2011, 14:49

gonnabphd

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@Ungewiss: Hammer

Danke.

@mathinitus: Da hat dein Prof wohl einfach nicht an diesen Fall gedacht. Man sollte dann diesen Fall noch aussschliessen (dann stimmt's auch mit den herkömmlichen Konventionen überein).

14.08.2011, 15:10

Ungewiss

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Ich versuch mal was:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0,\text{ angenommen es gaebe } r \in \mathbb R \text{ mit } r\in \left\{ x\in\mathbb R | \, \vert x - \infty \vert < \epsilon\right\} \end{eqnarray*}$

Dann wäre $\begin{eqnarray*} \infty=\infty - \epsilon < r <\infty \end{eqnarray*}$ , was ein Widerspruch ist, also enthält jede Umgebung von Unendlich nur Unendlich

Edit: hier ist ja garnicht die standardmetrik gegeben :/

14.08.2011, 15:15

mathinitus

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Zitat:

Original von Ungewiss
Ich versuch mal was:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0,\text{ angenommen es gaebe } r \in \mathbb R \text{ mit } r\in \left\{ x\in\mathbb R | \, \vert x - \infty \vert < \epsilon\right\} \end{eqnarray*}$

Dann wäre $\begin{eqnarray*} \infty=\infty - \epsilon < r <\infty \end{eqnarray*}$ , was ein Widerspruch ist, also enthält jede Umgebung von Unendlich nur Unendlich

Warum verwendest du nun die Betragsmetrik?

14.08.2011, 15:17

Ungewiss

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Hab's gerade auch gemerkt, so geht's dann wohl nicht.

14.08.2011, 15:19

Dustin

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Haha, genau denselben Fehler hatte ich in meinem Beitrag auch gemacht Big Laugh

Wir haben ja eine andere Metrik, da enthält jede Umgebung von unendlich natürlich auch reelle Zahlen. Ich denke auch, dass das Skript da falsch ist.

14.08.2011, 15:24

mathinitus

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Zitat:

Original von Dustin
Haha, genau denselben Fehler hatte ich in meinem Beitrag auch gemacht Big Laugh

Wir haben ja eine andere Metrik, da enthält jede Umgebung von unendlich natürlich auch reelle Zahlen. Ich denke auch, dass das Skript da falsch ist.

Interessant, dass viele so denken, aber zur Standardmetrik könnte man doch gar nicht unendlich hinzunehmen, wie sollte man dann den Abstand sinnvoll definieren?

14.08.2011, 15:40

gonnabphd

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Dass das Skript falsch ist, steht eigentlich ausser Frage. Die Idee hinter der Definition der Metrik/bzw. der Topologie ist folgende:

$\begin{eqnarray*} \tan: [0, \pi) \to [0,\infty) \end{eqnarray*}$

ist ein Homöomorphismus und mit diesem Homömoprhismus kann man dann $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \simeq [0,\infty] \end{eqnarray*}$ miteinander identifizieren.

Die Metrik und die Toplogie erhält man also durch diese Identifizierung. (Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ damit kompakt, genauer ist das gerade die Einpunktkompaktifizierung von $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ )

14.08.2011, 15:52

mathinitus

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Nicht ganz. Der Tanges ist für $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ nicht definiert. Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ .

14.08.2011, 16:02

Dustin

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Zitat:

Der Tanges ist für $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ nicht definiert.

In $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ aber schon. Da ist $\begin{eqnarray*} \tan(\frac{\pi}{2})=\infty \end{eqnarray*}$

14.08.2011, 16:05

mathinitus

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Und warum nicht $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ?

Ich denke, man sollte besser sagen arctan ist auf $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ definiert und das Bild ist $\begin{eqnarray*} [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \end{eqnarray*}$ .

14.08.2011, 16:09

Dustin

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Zitat:

Und warum nicht $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ?

Kam mir auch gerade smile

Da hast du natürlich Recht.

Zitat:

Ich denke, man sollte besser sagen arctan ist auf $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ definiert und das Bild ist $\begin{eqnarray*} [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \end{eqnarray*}$ .

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