Fixpunktsatz mit Zwischenwertsatz

19.12.2006, 15:20

hanna_s

Fixpunktsatz mit Zwischenwertsatz

Hi,
meine Aufgabe lautet:

Ist [a,b] stetig und Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein kompaktes Intervall und f:[a,b]->[a,b] stetig, so hat f einen Fixpunkt, d.h. es gibt ein x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [a,b] mit f(x)=x.
Hinweis: Betrachte Zwischenwertsatz; g(x):=f(x)-x.

Ist f:[a,b]-> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige, reelle Fkt. Dann gibt es zu jedem v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [f(a),f(b)] ein u $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [a,b] mit f(u)=v.

So, aber ich habe keine Idee wie ich damit jetzt voran kommen soll unglücklich

Kann mir jemand da etwas helfen.
Danke
Grüße,
Hanna.

19.12.2006, 15:56

klarsoweit

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RE: Fixpunktsatz mit Zwischenwertsatz

Zitat:

Original von hanna_s
So, den Zwischenwertsatz habe ich, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{f'(u)}{g'(u)} \end{eqnarray*}$ mit g'(x) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 für x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [a,b]. und g(a) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ g(b).

Das ist aber schon der erweiterte Zwischenwertsatz. Der einfache lautet:
Ist h stetig auf [a; b] und h(a) <= c <= h(b), dann gibt es ein x_0 in [a; b] mit h(x_0) = c. Analog für das >-Zeichen.

Zeige damit, daß g(x):=f(x)-x eine Nullstelle hat.

19.12.2006, 16:06

hanna_s

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hi, danke für deine antwort.

musst dann das gelten:

g(a) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ c $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ g(b)
mit f(a)-a $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ c $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ f(b)-b

??

LG

19.12.2006, 16:15

therisen

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Hallo,

du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ an einer Stelle nichtnegativ ist und an einer weiteren Stelle nichtpositiv ist. Damit folgt die Behauptung.

Gruß, therisen

19.12.2006, 20:30

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Das ist aber schon der erweiterte Zwischenwertsatz.

Das ist übrigens kein Zwischensatz mehr, sondern schon der erweiterte Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Gruß MSS

31.01.2007, 16:35

MrMilk

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Hallo,

ich stehe grade vor dem gleichen Problem wie ich dieses zeigen soll.
Dazu habe ich nun folgende Theorie:

Ich nutze den Zwischenwertsatz um zu zeigen, dass meine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ an jeder Stelle definiert ist.

Allerdings ist mir nicht klar wofür ich die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) := f(x) - x \end{eqnarray*}$ benötige.

So wie ich das Sehe würde ich die identische Funktion wählen und hätte damit auch eine stetige Funktion.

Da meine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ wie oben angegeben stetig ist und im Intavall [a;b] auch die idt. Funktion liegt, muss $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ diese einmal schneiden, genau das wäre der Punkt wo $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen was hinter $\begin{eqnarray*} g(x) := f(x) - x \end{eqnarray*}$ steckt?

Viele Grüße
-- MrMilk

31.01.2007, 16:52

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Zitat:

Original von MrMilk
Da meine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ wie oben angegeben stetig ist und im Intavall [a;b] auch die idt. Funktion liegt, muss f(x) diese einmal schneiden

Kurze Frage: Wieso muss sie das? Nur der Anschauung wegen? Augenzwinkern

Genau für die exakte Begründung dessen wendet man ja den ZWS auf diese Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ an. smile

31.01.2007, 16:58

MrMilk

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Hallo Arthur Dent.

Ich würde es so begürnden, dass der Zweiwertsatz auf die identsiche und die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x ) \end{eqnarray*}$ zutrifft.
Damit habe ich mein "Quadrat" in zwei Hälften aufgeteilt.
Da nun $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ laut ZWS überall definiert ist, muss $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ von links nach rechts laufen.
Als muss einmal ein Schnittpunkt vorhanden sein.

Aber wie möchtest du das nun mit $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ begründen.

Ich würde $\begin{eqnarray*} g(x) = x \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} g(x) = f(x) - x \end{eqnarray*}$ nehmen.

Kannst du mir einen Tipp geben?

Viele Grüße
-- MrMilk

31.01.2007, 17:10

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Zitat:

Original von MrMilk
Da nun $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ laut ZWS überall definiert ist, muss $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ von links nach rechts laufen. Als muss einmal ein Schnittpunkt vorhanden sein.

Das ist schon wieder eine wackelige Anschauungsbegründung, die ich nicht akzeptieren würde, dein Prof sicher auch nicht.

Die Begründung mit g(x) steht doch schon oben - liest du den Thread denn nicht? Es ist

$\begin{eqnarray*} g(a) = f(a)-a \geq a-a = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(b) = f(b)-b \leq b-b = 0\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Laut ZWS für die ebenfalls stetige Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ jeden Wert aus dem Intervall $\begin{eqnarray*} [g(b),g(a)] \end{eqnarray*}$ wenigstens einmal annehmen.

Wegen (*) gilt aber speziell $\begin{eqnarray*} 0\in[g(b),g(a)] \end{eqnarray*}$ , also gibt es ein $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x^*)=0 \end{eqnarray*}$ , umgeschrieben heißt das $\begin{eqnarray*} f(x^*)=x^* \end{eqnarray*}$ , also Fixpunkt.

31.01.2007, 17:56

MrMilk

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Hallo Arthur Dent,

vielen dank für deine Antwort.
In den vorherigen Nachrichten stoße ich aber auf ein kleines Problem

Zitat:

Original von hanna_s
...
$\begin{eqnarray*} g(a) \leq &c& \leq g(b)<br /> \\f(a)-a \leq &c& \leq f(b)-b \end{eqnarray*}$
...

Leider kann ich diesem noch nicht ganz Folge leisten.
Mir wäre dieses klar, wenn ich auf beiden Seiten eine Konstange abziehen würde.

Bei deinen Ungleichungen, nimmst du da etwas wie o.B.d.A. ist $\begin{eqnarray*} f(a) < f(b) \end{eqnarray*}$ an? Bitte diese Frage der Unwissenheit nicht böse nehmen.

Viele Grüße
-- MrMilk

31.01.2007, 23:15

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Wie mehr als deutlich ersichtlich, benutze ich lediglich $\begin{eqnarray*} f(a)\geq a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b)\leq b \end{eqnarray*}$ , und das sollte ja bei einem Wertebereich $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ klar sein!!!

01.02.2007, 08:37

MrMilk

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Danke

Ich glaube nun hab ich es.

Viele Grüße
-- MrMilk

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