Integrale e-funktion

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Toni_Montano Auf diesen Beitrag antworten »
Integrale e-funktion
Hallo,

ich bräuchte eure Hilfe beim folgenden Integral:

Die Stammfunktion soll lauten beta*[1/beta *exp (-beta/x) ].
Ich habe es schon mit der partiellen Integration probiert, doch leider kam ich nicht auf das Ergebnis.

Wäre stark, wenn ich auf eure Hilfe zählen könnte!
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

sind einfach nur Konstanten. Alles was nicht von abhängt, kannst du einfach aus dem Integral ziehen. Partielle Integration ist absolut unnötig.
Toni_Montano Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Z gibt es nicht in der Gleichung, es ist ein x unter dem Bruchstrich.
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

@Grouser: Wo siehst du denn da ein z ??? Die e-Funktion kann man nicht vorziehen!!

@Toni: Es gibt eine Faustregel: Wenn sich eine sinnvolle Substitution anbietet, ist das fast immer besser als Partielle Integration!
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, das ist der Auflösung geschuldet. Dann sieht die ganze Sache natürlich völlig anders aus.

Schau dir das Integral mal genau an: Man kann direkt eine Stammfunktion "ablesen", wenn man etwas nachdenkt wie abgeleitet wird Wink
Toni_Montano Auf diesen Beitrag antworten »

Mmmh, die Ableitung davon lautet , oder nicht.
Und irgendwie hilft mir das nicht ganz weiter. Über einen kleinen Ansatz oder eine Denkhilfe wäre ich dankbar!
 
 
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Toni_Montano
Mmmh, die Ableitung davon lautet , oder nicht.
Und irgendwie hilft mir das nicht ganz weiter. Über einen kleinen Ansatz oder eine Denkhilfe wäre ich dankbar!


Genau und kommt dir der Term etwas bekannt vor?

Zur Erinnerung:

, falls
Toni_Montano Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke jetzt sehe ich auch, dass die Stammfunktion ist.
Jedoch ist mir die Rechnung dorthin nicht ganz schlüssig.
Ich habe ja ein x vor der e-Funktion und ein x in der e-Funktion.
Mit welcher Rechenregel würde ich das machen, wenn ich die Stammfunktion nicht "sehe"?
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibt es keine Rechenregel zu. Du hast mit den Kettenregel den "e-Term" abgeleitet und dadurch herausgefunden, dass der "e-Term" genau die Stammfunktion ist.

Wie so oft bei der elementaren Integration hilft an dieser Stelle fast nur Erfahrung, um so etwas "zu sehen"...

Ich weiß, keine befriedigende Antwort...
Toni_Montano Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar Big Laugh
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, aber da muss ich Grouser korrigieren. Dafür gibt es sehr wohl eine Regel, und zwar die Substitutionsregel! Kannst du die, Toni? Wenn ja, was für eine Substitution würde sich hier empfehlen?
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dustin
Entschuldige, aber da muss ich Grouser korrigieren. Dafür gibt es sehr wohl eine Regel, und zwar die Substitutionsregel! Kannst du die, Toni? Wenn ja, was für eine Substitution würde sich hier empfehlen?


Stimmt, die führt auf densleben Weg... Hammer
Toni_Montano Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Substitution kenne ich. In diesem Fall wüsste ich aber nicht was ich substituieren muss bzw. kann...
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Also, Substitution empfiehlt sich besonders, wenn du eine Kettenfunktion hast (also eine Funktion in der Funktion). Hier steht die "innere Funktion" f(x)=-beta/x in der e- Funktion. Damit bietet sich die Substitution

an.

Führ die doch mal aus!
Toni_Montano Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Ich setzte u in das Integral ein und bekomme folgendes . Die Stammfunktion lautet dann:
Wenn ich die Substitution einsetze komme ich nicht auf die Stammfunktion von oben.
Demnach muss ich mich verrechnet haben oder mein Rechenansatz hat einen Fehler
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
oder mein Rechenansatz hat einen Fehler

Genau.
Kannst du die Substitution wirklich? Augenzwinkern Du musst nicht nur das x durch ein u ersetzen, sondern auch das Differential dx in du umwandeln! Weißt du, wie?
Toni_Montano Auf diesen Beitrag antworten »

u = daraus folgt = ß/x^2
Somit ist du= ß/x^2 dx und dx ist du/ ß/x^2, ist das richtig?
Und das x unterm -u wird als Konstante betrachtet, oder?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rechnung stimmt.

NEIN, x darf NICHT als Konstante betrachtet werden! Setz das u erstmal NUR im Exponenten ein und ersetze das dx, dann müssten sich alle x'e rauskürzen.
Toni_Montano Auf diesen Beitrag antworten »

War auch nur ein Scherz, hust hust Hammer Jetzt komme ich auch mit Substitution auf das Ergebnis.
Vielen Dank für deine Mühe!
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht noch als Faustregel: Immer erstmal nach einer geeigneten Substitution schauen (Kettenfunktion), bevor du Partielle Integration machst!

Viele Grüße smile
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