Log-Likelihoodfunktion und vereinfachung

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14.08.2011, 21:22	Toni_Montano	Auf diesen Beitrag antworten »
Log-Likelihoodfunktion und vereinfachung Guten Abend, Aus folgender Likelihoodfunktion soll die Log-Likelihoodfunktion bestimmt werde und anschließend vereinfacht werden: $\begin{eqnarray} L(ß)= \prod \limits_{i=1}^{n}\frac{ß}{x^{2} }e^{\frac{-ß}{x} } \end{eqnarray}$ Mein Ansatz ist folgender: $\begin{eqnarray} lnL(ß)=ln( \prod \limits_{i=1}^{n}\frac{ß}{x^{2} }e^{\frac{-ß}{x} }) \end{eqnarray}$ =nln(ß) -2nln(x)- $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (\frac{-ß}{x}) \end{eqnarray}$ Da ich mir ziemlich unsicher bin hoffe ich, dass ihr mir einen Ansatz sagen könnt, wie ich die Funktion bestimme und vereinfache. Ich wäre über jeden Input dankbar.
14.08.2011, 21:42	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab zwar absolut keine Ahnung von der Likelihoodfunktion, aber evtl. kann ich ja zumindest beim Rechnen helfen. Zuerst kläre mal über welchen Index multipliziert/summiert wird. Mal schreibst du i, mal k. Vllt. doch ein komplett anderer? Außerdem musst du mal den Schritt von der vorletzten zur letzten Zeile erklären. Ich bekomme da nämlich was anderes raus.
14.08.2011, 21:56	Toni_Montano	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine schnelle Antwort. Das mit dem Index ist ein editier Fehler, es muss überall i=1 heissen. Du musst keine Ahnung von der Likelihoodfunktion haben, alles was man bei der Bestimmung der Log Likelihoodfunktion machen muss ist den Logarithmus von der Likelihoodfunktion zu bestimmen. Und genau da liegt mein Problem. Ich fühle mich bei Funktionen mit einem Produktzeichen ziemlich unsicher den Logarithmus zubilden. Ich gehe sehr stark davon aus, dass meine Lösung falsch ist. Wenn du mir einen Ansatz nennen könntest , wie man solche Funktionen logarithmiert oder deinen Lösungsweg posten könntest, wäre ich dir sehr dankbar.
14.08.2011, 22:05	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher über i? Denn das was unter dem Produkt steht ist ja gar nicht von i abhängig, somit wäre ja $\begin{eqnarray} \ln L(\beta)=\ln\left( \prod \limits_{i=1}^{n}\frac{ß}{x^{2} }e^{\frac{-ß}{x} }\right) = n\ln \left(\frac{\beta}{x^2} e^{-\frac{\beta}{x}}\right) = n\ln \left(\frac{\beta}{x^2}\right)-\frac{n\beta}{x} \end{eqnarray}$ und ich glaube kaum, dass das das richtige Ergebnis sein soll.
14.08.2011, 22:16	Toni_Montano	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, über i. Habe aber wieder einen edetier Fehler gemacht es muss lauten $\begin{eqnarray} x_{i} \end{eqnarray}$ . Entschuldige, benutzte den Editor zum ersten Mal. Jetzt ist im obigen Ansatzt alles berichtigt und es gibt keine Veränderungen mehr. Und du hast Recht, es ist wohl nicht das richtige Ergebnis.
14.08.2011, 22:55	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann wäre ja schonmal die Aufgabe geklärt. Jetzt erkläre mal den Schritt von der vorletzten zur letzten Zeile im 1. post.
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15.08.2011, 11:52	Toni_Montano	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal von Anfang an: Die Funktion lautet $\begin{eqnarray} L(ß)=\prod \limits_{i=1}^{n}\frac{ß}{x_{i}^{2}}e^{\frac{-ß}{x_{i} }} \end{eqnarray}$ . Der Erste Schritt: $\begin{eqnarray} =\frac{-ßn}{x_{i}}+\sum\limits_{i=1}^n ln\frac{ß}{x^{2} _{i} } \end{eqnarray}$ Der zweite Schritt: $\begin{eqnarray} =\frac{-ßn}{x_{i}}+\sum\limits_{i=1}^n lnß-2lnx_{i} \end{eqnarray}$ Ist das bis jetzt richtig?
15.08.2011, 12:32	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein das ist leider schon falsch. Gehen wir das Ganze mal langsamer an: $\begin{eqnarray} \ln L(\beta) = \ln\left( \prod \limits_{i=1}^{n}\frac{\beta}{x_i^{2} }e^{\frac{-\beta}{x_i} }\right) \end{eqnarray}$ Du kannst jetzt erstmal NICHT den Exponenten der e-Funktion herunterziehen, da steht ja noch ein Produktzeichen, mal ganz abgesehen von dem Vorfaktor $\begin{eqnarray} \frac{\beta}{x_i^2} \end{eqnarray}$ . Mach lieber weiter, indem du das $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ vor das Produktzeichen ziehst (inwiefern du dabei etwas ändern musst, musst du dir natürlich überlegen). Dann verwende $\begin{eqnarray} \ln(ab) = \ln a + \ln b \end{eqnarray}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray} \ln \left(\prod_{i =1}^n f_i(...) \right) = \sum_{i = 1}^n \ln(f_i(...)) \end{eqnarray}$ Falls dir nicht klar ist wieso, schreib mal das Produktzeichen aus. Die dabei verwendete Regel hab ich oben ja schon genannt.
15.08.2011, 13:37	Toni_Montano	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Rückmeldung. $\begin{eqnarray} ßn (\sum\limits_{i=1}^n ln(\frac{1}{x_{1}^2 })+\sum\limits_{i=1}^n lne^{\frac{-ß}{x_{i} }}) \end{eqnarray}$ ß habe ich nach vorne gezogen und dann die von dir angegeben Formeln benutzt. Bevor ich den nächsten Schritt angebe, ist das schon mal richtig?
15.08.2011, 13:43	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein leider nicht. Der nächste Schritt lautet ja $\begin{eqnarray} \ln\left( \prod \limits_{i=1}^{n}\frac{\beta}{x_i^{2} }e^{\frac{-\beta}{x_i} }\right) = \ln\left(\beta^n \prod \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i^{2} }e^{\frac{-\beta}{x_i} }\right) \end{eqnarray}$ und ich denke das hast du auch. Nun gehts weiter mit $\begin{eqnarray} = n\ln \beta + \ln\left( \prod \limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i^{2} }e^{\frac{-\beta}{x_i} }\right) \end{eqnarray}$ bis hierhin verstanden? Versuchs mal jetzt weiter. Und nochwas: Du kannst ruhig beide Summanden unter einer Summe stehen lassen, du musst das nicht in zwei Summen aufteilen.
15.08.2011, 17:15	Toni_Montano	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Erklärung. nlnß-2ln $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n lnx_{i}-\sum\limits_{i=1}^n\frac{-ß}{x_{i}} \end{eqnarray}$ Bei der e-funktion bin ich mir noch ein wenig unsicher, doch der Rest sollte stimmen.
15.08.2011, 17:58	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein auch falsch. Und da du immer nur deinen fertigen Term hinklatscht, kann man dir auch schlecht sagen, was du falsch gemacht hast. Wie du überhaupt auf das Resultat kommst geht mir nicht so richtig in meinen Kopf und wieso du die Summen nun doch wieder auftrennst weis ich ebenso wenig. Wir waren bei $\begin{eqnarray} n\ln \beta + \ln\left( \prod \limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i^{2} }e^{\frac{-\beta}{x_i} }\right) \end{eqnarray}$ mach hier weiter, diesmal richtig und mit Zwischenschritten!
15.08.2011, 18:18	Toni_Montano	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Ersetze ich das Produkt im Argument des Logarithmus durch ein Summenzeichen: $\begin{eqnarray} nlnß+\sum\limits_{i=1}^nln(\frac{1}{x_{i}^{2}}e^{\frac{-ß}{x_{i}}}) \end{eqnarray}$ 2. Teile ich die Summe in 2 Teile auf und bearbeite beide einzeln. Dabei benutze ich log(ab)=log(a)+log(b) $\begin{eqnarray} nlnß+\sum\limits_{i=1}^n(ln\frac{1}{x_{i}^{2}}+lne^{\frac{-ß}{x_{i}}}) \end{eqnarray*}$ 3. Wende ich im 1. Teil die Log-Regeln für Quotient und Exponent an, beim 2. Teil für e-Funktion und komme so auf das Ergebnis, das ich gepostet habe.
15.08.2011, 19:11	Toni_Montano	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Ergebnis sollte vorm ß kein Minus stehen, deshalb: $\begin{eqnarray} nlnß-2ln\sum\limits_{i=1}^n lnx_{i}-\sum\limits_{i=1}^n\frac{ß}{x_{i}} \end{eqnarray}$
16.08.2011, 14:03	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, jetzt ist zumindest mal klar was du machst. Das Ergebnis ist auch fast richtig, das $\begin{eqnarray} \ln \end{eqnarray}$ vor der 1. Summe gehört da natürlich nicht hin. Ich würde das Ganze nur noch ein wenig "schöner" schreiben $\begin{eqnarray} \ln L(\beta) = n\ln \beta - \sum\limits_{i=1}^n \left( 2\ln x_{i}+\frac{\beta}{x_i}\right) \end{eqnarray}$ Weitere Vereinfachungen sehe ich keine.
16.08.2011, 22:39	Toni_Montano	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ln ist zuviel. Vielen Dank für deine Hilfe!

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