Gradient

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14.08.2011, 23:44	Max11	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient Hallo miteinander. Sei folgende Funktion gegeben: [attach]20847[/attach] Der Gradient ist dann: [attach]20848[/attach] Meine Frage: Wieso kommt man auf alpha-2? Ich hätte einfach den Exponenten runter genommen, und dann alpha-1 gesetzt - aber offenbar ist das falsch..
14.08.2011, 23:47	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist denn $\begin{eqnarray} \|\|x\|\| \end{eqnarray}$ definiert?
15.08.2011, 00:09	Mav11	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \|\|x\|\| := \sqrt{x_1^2 + ... + x_n^2} \end{eqnarray}$
15.08.2011, 00:15	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht machst Du Dir das Ergebnis erst einmal im eindimensionalen klar. Was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray} h(x)=ln(1+\|x\|^\alpha) \end{eqnarray}$ ? Danach machst Du Dir am besten Gedanken, wie die innere Ableitung (also $\begin{eqnarray} f(x)=1+\|\|x\|\|^\alpha\Rightarrow grad(f)=... \end{eqnarray}$ ) aussieht. EDIT: Betragsstriche ergänzt, danke tigerbine
15.08.2011, 00:16	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
@Helferlein: Hast du die \| \| Betragsstriche vergessen?
15.08.2011, 00:34	Max11	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Eindimensionalen gilt ja: $\begin{eqnarray} (ln(1+\|x\|^{\alpha} )' = \frac{ \alpha x^{\alpha - 1}}{1+\|x\|} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} grad(h) = \frac{ \alpha x^{\alpha - 1}}{1+\|x\|} \cdot x \end{eqnarray}$ Ist das nicht korrekt?
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15.08.2011, 14:42	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung stimmt nur fast, denn Du hast (genau wie ich zuerst oben) den Betrag vernachlässigt. Deine Schlussfolgerung ist dann aber falsch, denn im eindimensionalen ist Gradient und Ableitung dasselbe. Erst im Mehrdimensionalen entsteht ein Vektor.
16.08.2011, 01:03	Max11	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh..ok Ja, dann komm ich im Eindimensionalen auf $\begin{eqnarray} \frac{ \alpha \|x\|^{ \alpha - 2} x }{1+\|x\|^{ \alpha}} \end{eqnarray}$ , d.h. im Mehrdimensionalen auf die gepostete Lösung ..hab das mit dem Betrag hier wie auch bei der Norm übersehen. Man muss die Normen also eigentlich wie Beträge behandeln - hab ich das richtig verstanden? Eine Frage zu einem anderen Ableitungsbeispiel habe ich noch: Wie (also nach welchem "Algorithmus") leitet ihr Funktionen à la: sin^3(sin^2(cos(x))) ab? Gruss und danke, Max
16.08.2011, 01:31	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Norm, die ihr verwendet habt, nennt man euklidische Norm und sie gibt die Länge des Vektors x an. Es gibt aber noch andere Normen, daher auch die berechtigte Frage von Grouser zu Beginn des Threats. Mach Dir bitte noch mal Gedanken, wie der Gradient der euklidischen Norm aussieht, denn der Betragsstrich im eindimensionalen entspricht ja nur einem Ignorieren des Vorzeichens. Im Mehrdimensionalen ist das schon etwas mehr. Also $\begin{eqnarray} f(x)=\|\|x\|\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2} \Rightarrow \frac {df}{dx_i}=? \Rightarrow grad(f)=? \end{eqnarray}$
16.08.2011, 12:42	Max11	Auf diesen Beitrag antworten »
Also im Mehrdimensionalen sieht die Ableitung so aus: $\begin{eqnarray} ( \frac{x_1}{\|\|x\|\|} , ..., \frac{x_n}{\|\|x\|\|} ) \end{eqnarray}$ Und der Gradient eigentlich gleich: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{x_1}{\|\|x\|\|} \\ ... \\ \frac{x_n}{\|\|x\|\|} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
16.08.2011, 13:41	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder kürzer $\begin{eqnarray} grad(f)=\|\|x\|\|^{-1}x \end{eqnarray}$ In deiner Aufgabe haben wir aber nicht $\begin{eqnarray} \|\|x\|\| \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} 1+\|\|x\|\|^\alpha \end{eqnarray}$ als innere Funktion, was ja wiederum eine Verkettung darstellt. Also nächste Etappe: $\begin{eqnarray} f(x)=\|\|x\|\|^\alpha \Rightarrow grad(f)=... \end{eqnarray}$
16.08.2011, 13:51	Max11	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ... = \alpha \|\|x\|\|^{ \alpha -1 } ( \frac{x}{\|\|x\|\|} ) = \alpha \|\|x\|\|^{ \alpha -2 } x \end{eqnarray}$
16.08.2011, 14:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Ist nun klar, wie es zu der Ableitung mit dem ln gekommen ist?
16.08.2011, 14:32	Max11	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, eigentlich schon - vielen Dank! Wenn du aber evtl. noch ein (nicht allzu einfaches) Überprüfungsbeispiel hättest, würde ich nicht nein sagen
16.08.2011, 15:04	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Probier es mal mit $\begin{eqnarray} h(x)=sin(\frac{\|\|x\|\|}{1+\|\|x\|\|}) \end{eqnarray}$
17.08.2011, 00:40	Max11	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für das Beispiel Ich hab folgendes raus bekommen: $\begin{eqnarray} h'(x) = cos( \frac{ \|\|x\|\|}{1+\|\|x\|\|} ) ( - \|\|x\|\|^{2} ( \frac{x}{\|\|x\|\|} ) \|\|x\|\| + \frac{1}{1+\|\|x\|\|} \frac{x}{\|\|x\|\|} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = cos( \frac{ \|\|x\|\|}{1+\|\|x\|\|} ) ( \frac{-x}{\|\|x\|\|^2} + \frac{1}{1+\|\|x\|\|} \frac{x}{\|\|x\|\|} ) = cos( \frac{ \|\|x\|\|}{1+\|\|x\|\|} ) ( \frac{-x}{\|\|x\|\|^3 + \|\|x\|\|^2} ) \end{eqnarray}$ Ist das möglich?
17.08.2011, 12:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Zugegeben: Das Beispiel ist nicht wirklich einfach. Soweit ich es sehen kann, hast Du Dich bei der inneren Funktion vertan. Welche Regel hast Du denn verwendet? Schreib doch mal die Einzelrechnungen hin, dann ist der Fehler leichter zu finden. Herauskommen sollte eigentlich (vorausgesetzt ich habe mich nicht verrechnet) $\begin{eqnarray} cos(\frac {\|\|x\|\|}{1+\|\|x\|\|}) \cdot \frac1{\|\|x\|\| \cdot (1+\|\|x\|\|)^2} \cdot x \end{eqnarray}$
17.08.2011, 12:45	Max11	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich schreib mal hin, was ich überlegt habe. (Wie die einzelnen Regeln jeweils heissen, ist mir ehrlichgesagt jeweils nicht unbedingt bewusst.. :P) Also bis und mit cos-Term ist der Fall klar. Dann habe ich den Bruch wie folgt auseinander genommen: $\begin{eqnarray} ( \frac{\|\|x\|\|}{1+\|\|x\|\|} )' = ( \frac{1}{1+\|\|x\|\|} \|\|x\|\| )' = ( (1+\|\|x\|\|)^{-1} \|\|x\|\|)' = - \|\|x\|\|^{-2} ( \frac{x}{\|\|x\|\|} \|\|x\|\| + \frac{1}{1+\|\|x\|\|} \frac{x}{\|\|x\|\|} ) \end{eqnarray}$ Multipliziert mit dem cos-Term würde das dann mein Ergebnis geben. Ich habs zwar gestern zu später Stunde gemacht, aber ich würde es auch jetzt noch so machen.. Danke fürs Durchschauen und dieses gute Beispiel
17.08.2011, 12:54	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann betrachten zunächst einmal die folgenden Funktionen: $\begin{eqnarray} f(x)=(1+\|\|x\|\|)^{-1} \end{eqnarray}$ Was ist davon der Gradient?
26.08.2011, 13:26	Max11	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst einmal sorry wegen meiner längerer Abwesenheit. Und tatsächlich - genau da liegt (glaube ich...) mein Fehler, denn: Die Ableitung von deinem f(x) ist: $\begin{eqnarray} \frac{-1}{(1+\|\|x\|\|)^2} \end{eqnarray}$ ..womit ich dann auf dasselbe Ergebnis komme, wie du
26.08.2011, 13:43	Max11	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei genauerer Betrachtung kriege ich schlussendlich doch nicht dasselbe raus wie du. Hast du für den Ausdruck in der sin-Klammer nicht auch die Quotientenregel verwendet? --> Wenn nein, wieso denn nicht? --> Wenn ja, wie hast du gekürzt?

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