Kurventangente

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19.12.2006, 16:04	beachboy	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurventangente Hallo, gegeben habe ich die (ebene) Kurve: $\begin{eqnarray} x^{\frac{2}{3} }+ y^{\frac{2}{3} }=a^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray}$ a)Stellen Sie die Gleichung der Kurventangente im Punkt $\begin{eqnarray} P_0(x_0 \| y_0) \end{eqnarray}$ auf. ( $\begin{eqnarray} x_0 ; y_0 \end{eqnarray}$ der kurvengleichung genügen!) b) Zeigen Sie, dass die Länge des Tangentenabschnitts zw. den Achsen für alle $\begin{eqnarray} P_0 \end{eqnarray}$ der Kurve konstant ist. ok erstmal zu a) also ich brauche ja die gleichung der tangente habe die formel im gedächnis_?! $\begin{eqnarray} y=m\cdot (x-x_1)+y_1 \end{eqnarray}$ dazu brauch ich ja die Steigung m da weiß ich nicht mehr wie ich die bekomme , habe nur noch $\begin{eqnarray} m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray}$ im kopf, aber dazu bräuchte ich ja zwei punkte?! naja ich meiner verzweiflung hab ich mal abgeleitet vielleicht bringt mich das ja weiter also: y'= $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3} }+\frac{2}{3} y^{-\frac{1}{3} }=0 \end{eqnarray}$ wie bekomme ich denn nun diese tangentengleichung? .-( lg beach
19.12.2006, 16:21	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn du schon ableitest, dann musst du entweder nach y umstellen, oder implizit differenzieren.
19.12.2006, 16:48	beachboy	Auf diesen Beitrag antworten »
öh eigentlich wollte ich die implizit gegebene kurvengleichung nach x ableiten? was hab ich nun falschgemacht?
19.12.2006, 16:58	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurventangente Du hast vergessen mit $\begin{eqnarray} y' \end{eqnarray}$ zu multiplizieren. Das sollte dann so aussehen: $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3} }+\frac{2}{3} y^{-\frac{1}{3} }y'=0 \end{eqnarray}$
19.12.2006, 17:31	beachboy	Auf diesen Beitrag antworten »
^warum muss ich denn da überhaupt mit y' mulitplizieren kann ich das nicht weglassen?
19.12.2006, 19:42	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja du hast $\begin{eqnarray} v(y)=y^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ wobei y eine Funktion von x ist. Also $\begin{eqnarray} v(f(x)) \end{eqnarray}$ . Jetzt wendest du die Kettenregel an und da du $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ nicht hast schreibst du einfach $\begin{eqnarray} y' \end{eqnarray}$ .
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19.12.2006, 20:44	beachboy	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh danke habs gerafft! nur wie bekomme ich jetz die steigung?
19.12.2006, 21:29	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y' \end{eqnarray}$ ist die Steigung.
19.12.2006, 22:19	beachboy	Auf diesen Beitrag antworten »
muss ich jetz die obige gleichung nach y' auflösen oder wie?
19.12.2006, 22:51	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
genau
19.12.2006, 23:04	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ne frage Wie nennt man diese Art von ableitung sehe sowas zum erstenmal
19.12.2006, 23:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Ableitung. mY+
19.12.2006, 23:08	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie leitet man sowas ab gibts dafür auch eine formel wie z.B $\begin{eqnarray} nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ ?
19.12.2006, 23:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel: Kreisgleichung: $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray}$ Steigung der Tangente? beide Seiten diff. $\begin{eqnarray} 2x + 2y \cdot y' = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y' = k_t = -\frac{x}{y} \end{eqnarray}$ Wenn man will, kann für $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} \sqrt{r^2 - x^2} \end{eqnarray}$ gesetzt werden; das ist aber meist nicht notwendig, weil man ohnehin den Berührungspunkt mit beiden Koordinaten einsetzen kann. mY+
19.12.2006, 23:15	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo ich kann mir was darunter vorstellen ich danke dir Mythos!
19.12.2006, 23:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinweis: Es gibt für die implizite Ableitung keine neue Formel. Es änderts sich ja nichts, ausser dass bei der Kettenregel bei den Ableitungen von y noch mit der inneren Ableitung y' multipliziert wird, weil y keine unabhängige Variable, sondern eine (explizite) Funktion in x ist. mY+
20.12.2006, 12:17	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar ich danke dir Mythos! Hast du vielleicht ein paar Aufgaben wo ich die implizite Ableitung anwenden kann?
20.12.2006, 15:02	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst eine beliebige Gleichung mit x und y aufstellen und sie ableiten. Wenn du das ganze postest, kann kann ichs gegebenenfalls verbessern.
20.12.2006, 20:15	beachboy	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich weiß jetzt nicht weiter habe die ableitung und nun? wie meinst du 2 gleiochungen daraus machen??? in meiner hilfe steht, wenn ich die ableitung habe kann ich damit die tangentengleichung aufstellen: http://www.theochem.uni-stuttgart.de/~100on/mathe/mathe1/3.4/gifs/img3.4.5H.e.gif nur wie komme ich auf das? lg beach
21.12.2006, 00:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein kannst du die Gleichung einer Geraden aufstellen, wenn ein Punkt von ihr und ihre Steigung m bekannt ist. $\begin{eqnarray} y - y_0 = m(x - x_0) \end{eqnarray}$ Hier ist der Punkt P(x0; y0), die Steigung m = f '(x0) und y0 = f(x0) Lt. Angabe braucht aber f(x0) nicht ausgerechnet werden, es genügt, dafür y0 zu schreiben. Also steht der Tangentenberechnung nichts mehr im Wege. $\begin{eqnarray} x^{\frac{2}{3} }+ y^{\frac{2}{3} }=a^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray}$ implizit differenzieren, damit man erst mal y' (= f '(x)) herausbekommt: $\begin{eqnarray} \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}y' = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y' = -(\frac{x}{y})^{-\frac{1}{3}} = -(\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}} = - \sqrt[3]{\frac{y}{x}} \end{eqnarray}$ So, wir wissen, dass m = f '(x0) ist, daher $\begin{eqnarray} m = - \sqrt[3]{\frac{y_0}{x_0}} \end{eqnarray}$ Setze das nun in die obige Geradengleichung ein ... mY+

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