Ist das eine sigma-Algebra?

15.08.2011, 15:13

Gast11022013

Ist das eine sigma-Algebra?

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_n \end{eqnarray*}$ die von der Potenzmenge $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}\left(\left\{1,\hdots,n\right\}\right) \end{eqnarray*}$ erzeugte $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N=1,2,3,\hdots \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} D:=\bigcup_{n\in\mathbb N}\mathcal{F}_n \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra?

Meine Ideen:
Damit es sich um eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra handelt, müssten doch folgende Dinge erfüllt sein:

1) $\begin{eqnarray*} \mathbb N\in D \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} A\in D\Rightarrow A^C\in D \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} A_1,A_2,\hdots\in D\Rightarrow \bigcup_{i\geq 1}A_i\in D \end{eqnarray*}$

Sehe ich das so richtig? Stimmt es, daß hier $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ die "Grundmenge" ist, die nach (1) in der (potentiellen) $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra enthalten sein müsste? Ich finde das hier ein bisschen schwer zu erkennen.

Edit:

Oder ist die Grundmenge, für die ich z.B. 1) zeigen muss $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ ?

15.08.2011, 16:23

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
Stimmt es, daß hier $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ die "Grundmenge" ist, die nach (1) in der (potentiellen) $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra enthalten sein müsste? Ich finde das hier ein bisschen schwer zu erkennen.

Die Ausgangs-Sigmaalgebren $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_n \end{eqnarray*}$ sind über der Grundmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ definiert, da hielt es der Aufgabensteller wohl für selbstverständlich, dass man bei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ die Frage "Sigmaalgebra oder nicht" auch auf diese Grundmenge bezieht. Augenzwinkern

15.08.2011, 16:45

Gast11022013

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Okay, also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Grundmenge.
Danke für die Beantwortung.

Nun würde ich gerne versuchen, die Ausgangsfrage zu beantworten.

1)

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_n \end{eqnarray*}$ ist die kleinste $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra, die alle Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \left\{1,\hdots,n\right\} \end{eqnarray*}$ beinhaltet, also insbesondere $\begin{eqnarray*} \left\{1,\hdots,n\right\} \end{eqnarray*}$ selbst. Als Vereinigung aller $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_n \end{eqnarray*}$ beinhaltet $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ dann insbesondere $\begin{eqnarray*} \mathbb N=1,2,\hdots \end{eqnarray*}$ . Dieses Kriterium für eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra ist also erfüllt.

Bleiben 2) und 3). Da fällt es mir schon wesentlich schwerer.

Ich versuch's:

2)

Sei $\begin{eqnarray*} A\in D \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen (oder zu widerlegen) ist, daß $\begin{eqnarray*} A^C:=(\mathbb N\backslash A)\in D \end{eqnarray*}$ .

Ich könnte an dieser Stelle einen Hinweis gut gebrauchen, denn ich weiß nicht, wie man nun hier argumentieren kann.

Da A in D enthalten ist, ist A vielleicht irgendeine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ?

15.08.2011, 16:48

René Gruber

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Es hilft zu verstehen, was denn eigentlich in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ alles so für Mengen versammelt sind:

Und zwar sind das alle diejenigen Mengen natürlicher Zahlen, die entweder selbst oder deren Komplement endlich sind!

Überleg dir mal, warum das so ist, und dann kannst du dir ein Gegenbeispiel für Eigenschaft 3) basteln. Augenzwinkern

15.08.2011, 16:58

Gast11022013

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Zitat:

Original von René Gruber
Es hilft zu verstehen, was denn eigentlich in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ alles so für Mengen versammelt sind:

Und zwar sind das alle diejenigen Mengen natürlicher Zahlen, die entweder selbst oder deren Komplement endlich sind!

Weil in D alles Teilmengen von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sind und wenn man jetzt zum Beispiel eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} \left\{1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$ nimmt, dann ist das Komplement "unendlich".

Wenn man andersherum eine "unendliche Teilmenge nimmt, so ist das Komplement endlich.

[Bestimmt ist das nicht gut ausgedrückt. Aber die Überlegung dahinter ist vielleicht korrekt.]

Zitat:

Original von René Gruber
Überleg dir mal, warum das so ist, und dann kannst du dir ein Gegenbeispiel für Eigenschaft 3) basteln. Augenzwinkern

Sucht man jetzt also ein Gegenbeispiel, bei dem also dies nicht gilt, also

Menge und Komplement sind beide endlich oder beide unendlich?

15.08.2011, 17:00

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
Sucht man jetzt also ein Gegenbeispiel, bei dem also dies nicht gilt, also

Menge und Komplement sind beide endlich oder beide unendlich?

Ja, wobei ersteres natürlich nicht möglich ist, d.h. also beide unendlich.

15.08.2011, 17:38

Gast11022013

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Ich komme nicht darauf.

Es soll ja ein Gegenbeispiel zum Punkt 3) sein.

Das heißt, es muß eine Menge $\begin{eqnarray*} G:=\bigcup_{i\geq 1}A_i \end{eqnarray*}$ geben, die unendlich ist und deren Komplement auch unendlich ist.

verwirrt

Edit:

Beispielsweise G=Vereinigung aller ungeraden natürlichen Zahlen, also $\begin{eqnarray*} G:=\left\{1,3,5,\hdots\right\} \end{eqnarray*}$ ?

15.08.2011, 17:56

tmo

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Das René Gruber gerade offline ist, antworte ich mal:

Dein Gegenbeispiel sieht nun ganz gut aus, aber wir müssen das ganze nunmal etwas ordnen.

Du willst, dass G die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen ist. Die liegt in der Tat nicht in D drin.

Aber das an sich ist noch kein Widerspruch. Du musst ja jetzt noch irgendwie $\begin{eqnarray*} A_i \in D, i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ angeben, sodass ihre Vereinigung gerade dein G ist.

Das ist natürlich nicht schwer.

15.08.2011, 18:03

Gast11022013

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Danke, daß Du antwortest!

Also ich dachte mir das so:

Ich schaue mir diese Elemente an, die in D enthalten sind:

$\begin{eqnarray*} A_1:=\left\{1\right\}, A_3:=\left\{3\right\}, A_5:=\left\{5\right\}, . . . \end{eqnarray*}$

Und nun ist G die Vereinigung dieser $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ , i ungerade.

Dann ist G nicht in D enthalten, denn das Komplement von G ist auch unendlich.

15.08.2011, 18:06

tmo

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Genau, so geht's.

Du hast jetzt zwar die Mengen etwas unüblich indiziert, aber das ist egal.

15.08.2011, 18:07

Gast11022013

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Ja, Indizierung und ich werden keine Freunde mehr. Augenzwinkern

Danke an Dich und danke an René Gruber.

Edit:

Es ist zwar jetzt klar, aber ich halte das Endergebnis nochmal fest:

NEIN, $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist keine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra!

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