Adjungierte Abbildung

15.08.2011, 16:36	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Adjungierte Abbildung Meine Frage: Hallo Leute ist die Adjungierte Abbildung $\begin{eqnarray} f^ \end{eqnarray}$ automatisch invers zur Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ Unsere Definition ist: $\begin{eqnarray} f^* \end{eqnarray}$ ist die Adjungierte falls gilt: $\begin{eqnarray} <w,f(v)> = <f^(w),v> \end{eqnarray}$ ich lese das irgendwie aus dieser Definition heraus, denn: $\begin{eqnarray} <w,f(v)> = <f^(w),f^f(v)> = <f^(w),id_V(v)> = <f^(w),v> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: kann mir jemand weiter helfen?? Danke schon mal!!!
15.08.2011, 17:00	C3P0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjungierte Abbildung Hallo. Im Allgemeinen muss $\begin{eqnarray} f^ \end{eqnarray}$ nicht invers zu $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sein. Beispielsweise existiert $\begin{eqnarray} f^* \end{eqnarray}$ auch dann, wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gar nicht invertierbar ist. Das Problem bei deiner Gleichungskette ist der erste Umformungsschritt. Es muss nicht unbedingt $\begin{eqnarray} < w, f(v)> = <f^(w), f^f(v)> \end{eqnarray*}$ gelten. Grüße
15.08.2011, 17:10	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjungierte Abbildung Okay danke schon mal für die Hilfe: Ich dachte das eben, weil ich folgenden Beweis gelesen habe und ich ihn nicht ganz verstanden habe: Z.z.: Haben f und g eine Adjungierte, so besitzt auch $\begin{eqnarray} f o g \end{eqnarray}$ eine Adjungierte: $\begin{eqnarray} f: U \to V ; g: V \to W \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} u \in U; w \in W \end{eqnarray}$ dann folgt: $\begin{eqnarray} <w,gof(u)> = <g^(w),f(u)> = < f^(g^(w)),u> = < f^* o g^(w),u> = <(gof)^(w),u> \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} (gof)^* = f^* o g^* \end{eqnarray}$ wenn jetzt aber g nicht invers zu g ist, dann versteh ich nicht warum es im 2ten Argument wegfällt, nachdem man es im ersten Argument einfügt! Kannst mit da auch weiter helfen???
15.08.2011, 17:22	C3P0	Auf diesen Beitrag antworten »
Dabei wird die Definition der Adjungierten Abbildung verwendet. Ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung, so ist die Adjungierte Abbildung $\begin{eqnarray} g^ \end{eqnarray}$ diejenige Abbildung, für die für alle Vektoren $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w \in W \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} <w,g(v)> = <g^(w),v> \end{eqnarray}$ Das wendest du dann auf die Vektoren w und v=f(u) an.
15.08.2011, 19:33	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
okay jetzt habe ich es verstanden, irgendwie war es ja logisch, Definitionen halt :Hammer:... Noch eine Frage, In der Definition stand auch: Sei $\begin{eqnarray} f \in Hom(V,W) \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} f^ \in Hom(W,V) \end{eqnarray}$ das heisst schon, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ von V nach W und $\begin{eqnarray} f^* \end{eqnarray*}$ von W nach V abbildet oder??? Danke
15.08.2011, 19:36	Jeremy124	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, das heißt es! Das ist einfach die Verallgemeinerung der Transponierten Matrix $\begin{eqnarray} (\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ / Adjungierten $\begin{eqnarray} (\mathbb{C}) \end{eqnarray}$ auf Homomorphismen aus $\begin{eqnarray} Hom(V,W) \end{eqnarray}$ . Eine kleine Bemerkung noch. Du meinst implizit bestimmt, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray*}$ linear sind!
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