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15.08.2011, 19:53

IngNano

Gauß

Hallo,

ich habe folgendes Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge ich ermitteln muss:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -4 \\ 2 & 4& 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Lösungsmenge ist:
$\begin{eqnarray*} \left\{ x\in \mathbb R | x= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\lambda, \lambda \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Wieso sind in der Lösungsmenge nur 2 Vektoren enthalten?
Was ich über dieses Gleichungssystem weiß ist, dass es unendlich viele Lösungen hat und den Rang 2. Aber wie kommt man auf die Lösung.

Danke

15.08.2011, 20:04

Jeremy124

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RE: Gauß
Hast du das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hinter dem Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ denn nicht gesehen?

Natürlich gibt es hier unendlich viele Lösungen!

15.08.2011, 20:34

IngNano

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Wie kommt man auf den Vektor?

15.08.2011, 20:39

Jeremy124

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \in \ker \begin{pmatrix} 1 & -2 & -4 \\ 2 & 4& 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sagt dir das was?

16.08.2011, 12:40

IngNano

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Der Kern? Also Ax=0.
Aber ich weiß nicht genau wie das geht.
Das habe ich jetzt raus:

-8y-16z=0
x-2y-4z=0

y= -2z

x=4z-4z=0

(x,y,z)=(x1,x2,x3)

x1=0
x2=-2x3
x3=x2

Ist das richtig? Was sagt mir das?
Das ist ja der Vektor.

Aber wenn ich anders auflöse, dann bekomme ich folgendes heraus:

x1=0
x2=-2x3
x3=-0,5x3
Das ist ja nicht dasselbe Ergebnis.
Die Lösungsmengen, die bisher in meinen Aufgaben vorkamen sahen so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \pi ,\lambda ,\pi \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dieses Gleichungssystem hat aber nur 2 Vektoren als Lösungsmenge.

16.08.2011, 12:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von IngNano
x1=0
x2=-2x3
x3=x2

Ist das richtig? Was sagt mir das?

Ich weiß jetzt nicht, wie du auf x3 = x2 kommst.

Deine merkwürdigen Rechnungen und Fragen sagen mir, daß du vom Thema "Lösen linearer Gleichungssysteme mit Gaußverfahren" noch nie was gehört hast oder es grundsätzlich nicht verstanden hast. Da solltest du erstmal ansetzen.

16.08.2011, 13:32

IngNano

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Doch, ich weiß schon wie es geht.

Inwiefern ist denn meine Rechnung merkwürdig? Ich hab mal nochmal gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -4 \\2 & 4 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnet man nicht so den Kern? Das hat mir Jeremy124 geraten.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -4 \\0&-8 &-16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So. Wenn man das auflöst erhält man:

-16x3=8x2 :8
-2x3=x2

x1+4x3-4x3=0 -> x1=0

Weiß nicht woher x2=x3 kommt. Aber soweit stimmt es doch, oder?

16.08.2011, 13:38

klarsoweit

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Bis auf das x2 = x3 stimmt das, aber es ist eben nicht das Gaußverfahren. Was willst du denn machen, wenn da ein 10 x 10 - Gleichungssystem steht? Ständig irgendwelche Gleichungen umformen und in andere einsetzen? verwirrt

Zitat:

Original von IngNano
So. Wenn man das auflöst erhält man:

Da liegt eben das Problem. Wenn man die Matrix eines Gleichungssystems hat, dann formt man diese um und löst das nicht wieder in Gleichungen auf.

16.08.2011, 13:45

IngNano

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Gauß ist doch umformen, bis unten eine Dreiecksmatrix aus 0 entsteht. Und das war doch eine kleine Matrix.

Aber zu der Aufgabe nochmal. Wie komme ich denn jetzt auf diesen Vektor?

16.08.2011, 13:46

Jeremy124

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Wenn du die Schreibweise der Lösung als

$\begin{eqnarray*} x_0 + ker(A) \end{eqnarray*}$

nicht verstehst, dann werfe ich mal den Begriff "freie Variable" in den Raum.
Sagt dir das was?

16.08.2011, 14:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von IngNano
Gauß ist doch umformen, bis unten eine Dreiecksmatrix aus 0 entsteht. Und das war doch eine kleine Matrix.

Aber auch bei einer kleinen Matrix empfiehlt sich das Gaußverfahren, insbesondere weil es verrät, wie man auf die Lösung kommt. Augenzwinkern

16.08.2011, 14:02

IngNano

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Freie Variablen kann man frei wählen, weil sie das Ergebnis nicht verändern. Sollte es mir mehr sagen?

16.08.2011, 14:10

Jeremy124

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1.) Es gibt unendlich viele Lösungen. Für beliebiges $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine Lösung.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ löst das LGS, denn $\begin{eqnarray*} A \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ein Kernvektor, was heißt das? Dass $\begin{eqnarray*} A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = A \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.08.2011, 14:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von IngNano
Freie Variablen kann man frei wählen, weil sie das Ergebnis nicht verändern. Sollte es mir mehr sagen?

Nun ja, über die freien Variablen bekommst du die Lösungen des homogenen Systems (also des Kerns), deswegen sollte man wissen, welche das in diesem Fall sind.

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