Punkt finden, der 3 Kugeln (fast) berührt

16.08.2011, 00:53	Reemo	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt finden, der 3 Kugeln (fast) berührt Meine Frage: Ich habe 3 Kugeln im Raum, von denen ich je den Mittelpunkt und den Radius kenne. Jetzt suche ich einen Punkt, der alle 3 Kugeln berührt. Solange ich ein Beispiel wähle, bei dem dieser Punkt existiert, ist das ganze kein Problem. Dann verwende ich einfach das folgende Gleichungssystem (der Gesuchte Punkt besteht aus $\begin{eqnarray} x_0, y_0, z_o \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} (x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 + (z_1 - y_0)^2 = r_1 \\<br /> (x_2 - x_0)^2 + (y_2 - y_0)^2 + (z_2 - y_0)^2 = r_2 \\<br /> (x_3 - x_0)^2 + (y_3 - y_0)^2 + (z_3 - y_0)^2 = r_3 \end{eqnarray}$ Wenn ich nun aber 3 Kugeln habe und es nur fast einen Punkt gibt, der alle Kugeln berührt funktioniert das natürlich nicht. Meine Frage ist jetzt, ob es irgend ein mathematisches Verfahren gibt, um den Punkt zu finden, der von allen Kugeloberflächen möglichst wenig weit entfernt ist. Meine Ideen: Also visuell sollte es nicht allzu schwierig sein, einen solchen Punkt zu finden. Aber wie man das rechnerisch herausfinden könnte ist mir schleierhaft. Es sollte eine Art Approximation in 3D sein, bei der man einen Punkt findet... Für einen Ansatz wäre ich sehr dankbar.
16.08.2011, 11:28	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich gibt es eine Möglichkeit, so etwas zu tun. Erinnerst du dich an Optimierungsprobleme in der Schule? Das hier ist genau so etwas. http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert sollte für den Anfang helfen.
16.08.2011, 11:31	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
@Reemo Gewöhnlich spricht man nicht davon, dass ein Punkt eine Kugel berührt, sondern davon, dass der Punkt auf der Kugel liegt. In deinem Fall - und das bestätigen deine Gleichungen (auch wenn rechts bei den Radien jeweils das Quadrat fehlt) - suchst du also den bzw. die Schnittpunkte dreier Kugeln. Dazu braucht man keine Approximation, mit Eliminationsverfahren führt das auf eine einfache quadratische Gleichung. Ähnliches trifft auf die modifizierte Aufgabenstellung zu: In dem Fall kann man sich auch leicht überlegen, dass der gesuchte Punkt in der Ebene liegt, die durch die drei Kugelmittelpunkte verläuft.
17.08.2011, 22:58	Reemo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Antworten! @René Gruber Du hast das völlig richtig bemerkt: In der Formel fehlt bei den Radien jeweils das Quadrat. Ich kann das aber leider nicht mehr ändern... Was das Problem betrifft: Eure Tipps haben mir zwar geholfen, aber ich kann das ganze leider noch nicht vollständig lösen. Ich sehe, dass man das Problem von 3D auf 2D vereinfachen kann, da alle Punkte auf der selben Ebene liegen. Aber das Optimieren kann ich leider nicht konkret durchführen. Meine Idee: Ich mache mit den 3 Mittelpunkten eine Fläche in Parameterform. Der gesuchte Punkt muss sich jetzt irgendwo darauf befinden. Dann optimiere ich ( $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ ist der gesuchte Punkt; $\begin{eqnarray} M_1, M_2, M_3 \end{eqnarray}$ die Mittelpunkte der Kugeln). Der Folgende Ausdruck soll nun möglichst klein werden: $\begin{eqnarray} \|\overline{P M_1}-r_1\| + \|\overline{P M_2}-r_2\| + \|\overline{P M_3}-r_3\| \end{eqnarray}$ Ich habe aber als Punkt P die Komponenten der Parameterform der Fläche. Also habe ich zwei Variablen. In einem Optimierungs-Problem darf es (soviel ich weiss) aber nur eine Variable geben... Bin ich jetzt auf den völlig falschen Weg geraten oder habe ich einfach etwas übersehen?
18.08.2011, 17:15	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe auch hier

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