Erzeuger Produkt-sigma-Algebra

16.08.2011, 12:05

Gast11022013

Erzeuger Produkt-sigma-Algebra

Meine Frage:
Hallo, ich habe nochmal eine Stochastik-Frage, vielleicht könnt Ihr mir helfen?

Es seien $\begin{eqnarray*} E_i, i\in\left\{1,2,\hdots\right\} \end{eqnarray*}$ abzählbare Mengen und $\begin{eqnarray*} \Omega=\prod_{i\geq 1}E_i \end{eqnarray*}$ . Es bezeichne $\begin{eqnarray*} X_i:\Omega\to E_i \end{eqnarray*}$ die Projektion auf die i-te Koordinate.

Zeige: Das System

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{\left\{X_1=x_1,\hdots,X_k=x_k\right\}:k\geq 1, x_i\in E_i\right\}\cup \left\{\emptyset\right\} \end{eqnarray*}$

ist ein durchschnittsstabiler Erzeuger der Produkt - $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra $\begin{eqnarray*} \bigotimes_{i\geq 1}\mathcal{P}(E_i) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
In der Vorlesung wurde definiert, daß

$\begin{eqnarray*} G=\left\{X_i^{-1}A_i:i\in I,A_i\in\mathcal{E}_i\right\} \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger der Produkt - $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra $\begin{eqnarray*} \bigotimes_{i\geq 1}\mathcal{E}_i \end{eqnarray*}$ ist, hier also

$\begin{eqnarray*} G=\left\{X_i^{-1}x_i:i\in I, x_i\in \mathcal{P}(E_i)\right\} \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich das korrekt verstehe, müsste man jetzt wohl zeigen, daß

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=G \end{eqnarray*}$ .

[Und danach natürlich noch, daß $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ durchschnittsstabil ist.]

Sehe ich das richtig?

Edit 1:

Vielleicht schonmal zu der Durchschnittsstabilität:
Seien $\begin{eqnarray*} A,B\in\mathcal{G}, A=\left\{X_1=a_1,\hdots,X_k=a_k\right\}, B=\left\{X_1=b_1,\hdots X_k=b_k\right\} \end{eqnarray*}$ .

Fall I: $\begin{eqnarray*} A\cap B=\emptyset\in\mathcal{G} \end{eqnarray*}$

Fall II: $\begin{eqnarray*} A\cap B\neq\emptyset \end{eqnarray*}$

Bei Fall II weiß ich noch nichts.

Edit 2:

Auch, wenn mir bis jetzt niemand bestätigt hat, daß dies die richtige Vorgehensweise ist, versuche ich mal, die Identität der beiden Mengen $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}, G \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}\subseteq G \end{eqnarray*}$ :

Sei $\begin{eqnarray*} \omega\in\mathcal{G}\backslash\left\{\emptyset\right\} \end{eqnarray*}$ . Nun ist ja $\begin{eqnarray*} \left\{X_1=\omega_1,\hdots X_k=\omega_k\right\} \end{eqnarray*}$ und dies ist doch eine abkürzende Schreibweise für $\begin{eqnarray*} \omega\in \mathcal{G}: X_1(\omega)=\omega_1,\hdots X_k(\omega)=\omega_k \end{eqnarray*}$ , wobei ja $\begin{eqnarray*} \omega_i\in E_i \end{eqnarray*}$ .

Also kann man doch ebenso schreiben $\begin{eqnarray*} X_1^{-1}\omega_1=\omega,\hdots,X_k^{-1}\omega_k=\omega \end{eqnarray*}$ . Und da $\begin{eqnarray*} E_i\subseteq \mathcal{P}(E_i) \end{eqnarray*}$ , müsste meines Erachtens daraus folgen, daß $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}\backslash\left\{\emptyset\right\}\subseteq G \end{eqnarray*}$ . Zudem ist ja ohnehin $\begin{eqnarray*} \emptyset\subseteq G \end{eqnarray*}$ , sodaß $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}\subseteq G \end{eqnarray*}$ .

Bei der anderen Richtung, also $\begin{eqnarray*} G\subseteq\mathcal{G} \end{eqnarray*}$ habe ich noch keine Idee.

16.08.2011, 18:54

tricky87

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