Konvergenz der Reihe sin(1/x)*x^n

16.08.2011, 14:42

LyriaEL

Konvergenz der Reihe sin(1/x)*x^n

Hallo ihr Lieben

Ich habe die Befürchtung, dass mein Eintrag hier überflüssig sein wird, da es diese Aufgabe bestimmt schon irgendwo hat, aber ich wurde in den letzten 10 Minuten suchen nicht fündig.
Also hier die Aufgabe:

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Für jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachte die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty sin(\frac{1}{n} )*x^{n} \end{eqnarray*}$

i) Untersuche die Reihe auf absolute Konvergenz;
ii) Untersuche die Reihe auf einfache Konvergenz.

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Verwirrt hat mich gleich am Anfang, dass man zuerst auf absolute Konvergenz und dann auf einfache untersuchen soll.
Aber ich habe dann einfach einmal drauflos gerechnet:

R = Konvergenzradius

$\begin{eqnarray*} R = \lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n+1}} | = \lim_{n \to \infty } x |\frac{sin(\frac{1}{n} )}{sin(\frac{1}{n+1} )} | \end{eqnarray*}$

Da beides nach Null geht habe ich mit der Regel de L'Hopital abgeleitet

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } |\frac{sin(\frac{1}{n} )}{sin(\frac{1}{n+1} )} |=\lim_{n \to \infty } |\frac{cos(\frac{1}{n} )* n^{-2} * (-1)}{cos(\frac{1}{n+1}) * (n+1)^{-2} *(-1)} |=\lim_{n \to \infty } ( |\frac{cos(\frac{1}{n} )}{cos(\frac{1}{n+1} )} |*|\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}} |) \end{eqnarray*}$

Ich habe einfach die beiden cosinus miteinander "gekürzt". Mir ist klar, dass man das so nicht machen darf, aber ich könnte zeigen, dass beide Brüche (also Funktionen) einen Grenzwert haben und daher ist der ganze Grenzwert ja das Produkt der beiden Grenzwerte.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ( |\frac{cos(\frac{1}{n} )}{cos(\frac{1}{n+1} )} |*|\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}} |)=\lim_{n \to \infty } ( 1*|\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}} |)=\lim_{n \to \infty } \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}} }{1} = 1 \end{eqnarray*}$

Also wenn es mit rechten Dingen zugeht, ist der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R = 1 \end{eqnarray*}$ .

D.h. für $\begin{eqnarray*} |x|<R \end{eqnarray*}$ ist die Reihe absolut Konvergent
für $\begin{eqnarray*} |x|>R \end{eqnarray*}$ ist die Reihe divergent

Dann bleiben noch die Fälle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ .

Ich habe irgendwie im Kopf dass man es mit alternierenden Reihen einfacher hat, deswegen habe ich beschlossen zuerst die in Angriff zu nehmen, welche nicht alterniert.
Also muss ich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty sin(\frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz untersuchen.

Was ich soweit herausgefunden habe:

1.) $\begin{eqnarray*} a_{n} := sin(\frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge
2.) Angeblich soll ich durch das Minorantenkriterum und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ divergenz beweisen können.

Hilfe?

Liebe Grüsse
Lyri

16.08.2011, 17:00

Grouser

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Es gibt ein ganz einfaches Argument, dies zu beweisen (welches in der Physik auch gerne benutzt wird).

Wir wissen $\begin{eqnarray*} sin'(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$ . Es folgt nun, dass die Steigung von $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ kleiner gleich 1 ist.

Damit erhalten wir für $\begin{eqnarray*} x,h,x-h \in [0,1] \end{eqnarray*}$ folgende Abschätzung unter Benutzung der Monotonie von Sinus und Cosinus im betrachteten Intervall:

$\begin{eqnarray*} sin(x+h) \ge sin(x) - h \end{eqnarray*}$ und damit auch die gewünschte Abschätzung.

Ich hoffe das war nicht zu technisch... Wenn man es sich einmal klar gemacht hat, ist es eigentlich ganz einfach.

16.08.2011, 17:03

Ungewiss

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Benutze , dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin(n^{-1})}{n^{-1}}=1 \end{eqnarray*}$ und wähle mal epsilon = 1/2.

Addendum: Und auf den KR kommt man einfacher, wenn man bedenkt, dass er mindestens 1 sein muss, wegen dem KR der geometrischen Reihe und nicht größer als 1, weil dann die Summanden keine NF mehr bilden.

16.08.2011, 18:22

LyriaEL

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ohje... ich kann euch leider gar nicht folgen...

Zitat:

Original von Grouser
Ich hoffe das war nicht zu technisch... Wenn man es sich einmal klar gemacht hat, ist es eigentlich ganz einfach.

Doch, das war seeeehr technisch für ich ^^
Das ist mir jetzt etwas peinlich, aber für was ist das jetzt eine Abschätzung?
Ich soll doch "einfach" die Reihe auf konvergenz prüfen, oder?

Zitat:

Original von Grouser
Wir wissen $\begin{eqnarray*} sin'(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$ . Es folgt nun, dass die Steigung von $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ kleiner gleich 1 ist.

Soweit bin ich noch dabei, auch wenn ich den Sinn davon nicht sehe.

Zitat:

Original von Grouser
Damit erhalten wir für $\begin{eqnarray*} x,h,x-h \in [0,1] \end{eqnarray*}$ folgende Abschätzung unter Benutzung der Monotonie von Sinus und Cosinus im betrachteten Intervall:

$\begin{eqnarray*} sin(x+h) \ge sin(x) - h \end{eqnarray*}$ und damit auch die gewünschte Abschätzung.

hab hier habe ich keine Ahnung von was du sprichst. Was ist dein $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ? Dem Buchstaben zu folge ist es eine Höhe?
... dass Sinus und Cosinus in diesem Intervall monoton sind ist mir gerade klar geworden.
Vielleicht könntes du mir ein paar Schritte/Überlegungen dazwischen noch sagen? Das wäre lieb.

--------------

Zitat:

Original von Ungewiss
Benutze , dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin(n^{-1})}{n^{-1}}=1 \end{eqnarray*}$ und wähle mal epsilon = 1/2.

Entschuldige bitte, aber welches epsilon?
$\begin{eqnarray*} \exists a \in X \forall eps > 0 \exists N \in \mathbb N \forall n \geq N :|x_{n} -a| < eps \end{eqnarray*}$
Das ist die formale Definition für Konvergenz von Folgen. Meinst du dieses Epsilon ?Aber ehrlichgesagt habe ich mit dem noch nie Konvergenz bewiesen. Kannst du mir sagen, wie ich dann von dort aus weiter soll?

Zitat:

Original von Ungewiss
Addendum: Und auf den KR kommt man einfacher, wenn man bedenkt, dass er mindestens 1 sein muss, wegen dem KR der geometrischen Reihe und nicht größer als 1, weil dann die Summanden keine NF mehr bilden.

KR = Konvergenzradius
NF = Nullfolge
?
Ich verstehe aber die ganze Argumentation nicht

Ich hoffe fest ihr gebt mich jetzt nicht gleich auf und helft mir noch ein wenig.

Liebe Grüsse
Lyri

16.08.2011, 19:03

Grouser

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Das über's Internet verständlich zu erklären ist eine Herausforderung. Am liebsten würde ich dich an die nächste Tafel zerren und es dir anschaulich erklären, aber nungut:

Das einzige das wir für das Minorantenkriterium zu zeigen haben ist, dass $\begin{eqnarray*} sin(\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ "langsamer" gegen Null geht als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ . Denn dann haben wir mit $\begin{eqnarray*} \sum _n \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ eine divergente Minorante.

Es gilt $\begin{eqnarray*} sin(\frac{1}{2}) < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
Wenn wir nun zeigen können, dass die Steigung von $\begin{eqnarray*} sin(\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ größer ist als die von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ wissen wir (da Sinus im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend ist), dass der Sinus im Bereich $\begin{eqnarray*} [0,0.5] \end{eqnarray*}$ immer größer ist als unsere Minorante. Das machst du dir am besten einmal auf einem Stück Papier deutlich. Wir legen quasi eine Tangente mit der kleinsten Steigung von Sinus (im kritischen Intervall) an und sagen: Ok, wenn diese Tangente immer noch größer ist als die Minorante, dann ist es auch Sinus selbst.

Cosinus selbst ist im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend und $\begin{eqnarray*} cos(1) > 0.5 \end{eqnarray*}$ . Cosinus ist aber genau die Steigung von Sinus, also ist die Steigung von Sinus im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ immer echt größer als die Steigung unserer Minorante. Die hat nämlich eine Steigung von $\begin{eqnarray*} 0.5 \end{eqnarray*}$ .

Damit erhalten wir für $\begin{eqnarray*} n \ge 2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} sin(\frac{1}{n}) > \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ .

Es ist wirklich blöd zu erklären via Internet und ich habe auch nicht das Gefühl, dass dich das jetzt sonderlich weiterbringen wird... Tut mir leid unglücklich

16.08.2011, 19:28

LyriaEL

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Zitat:

Original von Grouser
Das über's Internet verständlich zu erklären ist eine Herausforderung. Am liebsten würde ich dich an die nächste Tafel zerren und es dir anschaulich erklären, aber nungut:

Ich würde mich sehr gerne an eine Tafel zerren lassen, ich kann sowieso nur richtig überlegen, wenn ich mitschreibe Augenzwinkern

Zitat:

Original von Grouser
Es ist wirklich blöd zu erklären via Internet und ich habe auch nicht das Gefühl, dass dich das jetzt sonderlich weiterbringen wird... Tut mir leid unglücklich

Er bringt mich weiter, bestimmt.
Ich habe ihn jetzt einmal durch gelesen und sehe gute Chancen, dass ich verstehen könnte was du meinst.
Ich brauch nur etwas Zeit und eben... etwas zum schreiben. Ich werde mir erlauben mich nocheinmal zu melden, falls es nicht klappt.

Hab vielen vielen Dank Mit Zunge

16.08.2011, 19:38

Grouser

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Zitat:

Original von LyriaEL
Ich werde mir erlauben mich nocheinmal zu melden, falls es nicht klappt.

Ja, mach das!

Eines sei noch erwähnt, aber damit befasse dich erst, wenn du es soweit verstanden hast:

Genau genommen habe ich nämlich an einer Stelle gepfuscht, um weitere Verwirrung zu vermeiden.

Denn tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} sin(1) > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Ich habe dir nur eine Abschätzung für $\begin{eqnarray*} n \ge 2 \end{eqnarray*}$ gegeben.

Aber das ist kein Problem. Wir machen das nämlich einfach so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 1}^N |sin(\frac{1}{n})| \le sin(1) + \sum_{n = 2}^N \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ und haben dann mit $\begin{eqnarray*} sin(1) + \sum_{n = 2}^N \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ unsere divergente Majorante.

16.08.2011, 20:31

LyriaEL

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Hallo Grouser

Habe vieles verstanden und vieles nicht verstanden, klingt etwas widersprüchlich, aber es geht Augenzwinkern

Das ganze mit der Steigung habe ich verstanden (so hoff ich!).

Zitat:

Original von Grouser
(da Sinus im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend ist)

Wenn du vom Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ vom sinus sprichst, dann heisst das für die ursprüngliche funktion $\begin{eqnarray*} sin(\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in [1,\infty ) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Grouser
dass der Sinus im Bereich $\begin{eqnarray*} [0,0.5] \end{eqnarray*}$ immer größer ist als unsere Minorante. Das machst du dir am besten einmal auf einem Stück Papier deutlich

deutlich gemacht habe ich mir das, aber ohne TR rsp. Plotter keine Chance...

Zitat:

Original von Grouser
Cosinus selbst ist im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend und $\begin{eqnarray*} cos(1) > 0.5 \end{eqnarray*}$ . Cosinus ist aber genau die Steigung von Sinus, also ist die Steigung von Sinus im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ immer echt größer als die Steigung unserer Minorante. Die hat nämlich eine Steigung von $\begin{eqnarray*} 0.5 \end{eqnarray*}$ .

Damit erhalten wir für $\begin{eqnarray*} n \ge 2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} sin(\frac{1}{n}) > \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ .

hey, das hab ich verstanden! Augenzwinkern

Zitat:

Original von Grouser
Denn tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} sin(1) > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Ich habe dir nur eine Abschätzung für $\begin{eqnarray*} n \ge 2 \end{eqnarray*}$ gegeben.

Stimmt, auch das kann man vom Plot ablesen...

Zitat:

Original von Grouser
$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 1}^N |sin(\frac{1}{n})| \le sin(1) + \sum_{n = 2}^N \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ und haben dann mit $\begin{eqnarray*} sin(1) + \sum_{n = 2}^N \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ unsere divergente Majorante.

Und hier verliehr ich doch nocheinmal den Faden...
warum geht deine Summe bis $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und nicht bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ?
(über den Betrag seh ich einfach mal drüberweg, die tauchen irgendwie immer aus dem nichts aus)
Dann hast $\begin{eqnarray*} n =1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt und gleichzeitig die Abschätzung mit unserer Minoranten gemacht. ... Doch eigentlich, wenn ich mir das überlege, dann macht das doch Sinn.
Apropos, du hast Majorante geschrieben, das sollte Minorante sein, oder?

Ich glaube ich habe es doch verstanden Tanzen

Ich kann nur hoffen, dass sowas nicht an der Klausur kommt unglücklich

Vielen vielen lieben Dank, für die Zeit, die du dir genommen hast smile

Lyri

16.08.2011, 21:00

Grouser

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Zitat:

Original von LyriaEL
[..]

Wenn du vom Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ vom sinus sprichst, dann heisst das für die ursprüngliche funktion $\begin{eqnarray*} sin(\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in [1,\infty ) \end{eqnarray*}$ ?
[..]

Ja, so ungefähr. Meine Aussage gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und damit insbesondere für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in [1,\infty ) \end{eqnarray*}$ .

Ein Plot ist hier in der Tat hilreich zur Visualisierung. www.wolfram-alpha.com hilft da weiter. Allerdings sollte man eine Aussage nie auf einen Plot stützen.

Zitat:

Original von LyriaEL

Zitat:

Ja, ich meine Minorante.

Für das N kannst du $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ einsetzen. kA warum ich N genommen habe...

Der Betrag kommt aus dem Minorantenkriterium. Der kann hier weggelassen werden, da wir nur über positive Werte sprechen. Im Allgemeinen ist aber wichtig, dass die Abschätzung für den Betrag der zu untersuchenden Folge bzw deren Reihe gilt! Schau dazu einfach noch einmal in deine Unterlagen.

Und kein Problem, gerne wieder... Wink

17.08.2011, 00:32

Ungewiss

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Hey, dann benutze doch mal die Definition der Konvergenz mit epsilon= 1/2, du wirst rauskriegen, dass ab einem gewissen N die folgende Ungl. Für alle n>N gilt

Sin(1/n) >= 1/(2n)

Und wenn x<1 ist, ist die geometrische Reihe über x^n konvergente Majorante für die Reihe, um die es geht, also schonmal Konvergenzradius (=KR) R >=1. Sofern x>1 ist, ist die Folge der Summanden keine Nullfolge mehr, sieht man z.B. Mit Bernoulli Ungl, also die Reihe divergent, damit also R=1.

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