pi berechnen

16.08.2011, 16:08

herbert99

pi berechnen

Meine Frage:
Aus folgenden Annahmen kann man offenbar sin und cos berechnen:
a) A(0)=sin(0)=0; B(0)=cos(0)=1;
b) A(n+1)=A(n) + step*(B(n)+B(n+1))/2;
c) B(n+1)=B(n) - step*(A(n)+A(n+1))/2;
d) n=1; 2; 3; ...
e) stephat beispielsweise den Wert 0,02;

Ich habe das mit OpenOffice.calc programmiert (vorher "Zirkuläre Referenzen" begrenzen) und erstaunt festgestellt, dass sich die Schrittzahl für eine Periode offenbar immer durch 2*pi/step vorhersagen lässt. Wieso? Kennen Sie eine Begründung?

Meine Ideen:
Die zirkulären Definitionen b) und c) bereiten Probleme. Vereinfacht man die Formeln so, dass die zirkulären Bezüge wegfallen, steigt die Amplitude unbegrenzt.

16.08.2011, 16:18

Grouser

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Ich gebe es offen zu: Ich hab keine Ahnung was du uns eigentlich sagen willst.

Du entwickelst offenbar auf eine mir schleierhaften Art und Weise Sinus und Cosinus und fragst dich, warum deren Periodizität 2pi ist?

Dein "Step" scheint ja nur ein linearer Faktor zu sein, der dann die Periodizitätsveräderung erklärt...

17.08.2011, 11:54

phlowe

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Um $\begin{eqnarray*} A_{n+1} \end{eqnarray*}$ zubestimmen verwendest du bereits $\begin{eqnarray*} B_{n+1} \end{eqnarray*}$ welches aber noch garnicht definiert ist. Es würde mich wundern wenn die Rekursion in der Art wie sie oben steht tatsächlich funktioniert.

17.08.2011, 13:23

René Gruber

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Zitat:

Original von herbert99
Ich habe das mit OpenOffice.calc programmiert (vorher "Zirkuläre Referenzen" begrenzen) und erstaunt festgestellt, dass sich die Schrittzahl für eine Periode offenbar immer durch 2*pi/step vorhersagen lässt. Wieso?

Das stimmt nur für $\begin{eqnarray*} \mathrm{step}\to 0 \end{eqnarray*}$ . Die tatsächliche Periodenlänge ist genau $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{\arctan\left( \frac{\mathrm{step}}{2} \right)} \end{eqnarray*}$ . smile

Zitat:

Original von herbert99
Die zirkulären Definitionen b) und c) bereiten Probleme. Vereinfacht man die Formeln so, dass die zirkulären Bezüge wegfallen, steigt die Amplitude unbegrenzt.

Das stimmt nicht: Wenn es zu solchen Effekten kommt, dann hat das ausschließlich numerische Gründe, weil diese Rekursion numerisch instabil ist, d.h. sich die Fehler irgendwann soweit fortpflanzen, dass es zu den von dir genannten Effekt kommt. Die "reine" mathematische Folge zeigt diese Effekte nicht.

EDIT: Ich muss mich korrigieren, das Verfahren scheint eigentlich sehr stabil zu sein. Dann kann es evtl. noch daran liegen, dass du die zirkuläre Defintion falsch aufgelöst hast. verwirrt

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