Orthogonalsystem

16.08.2011, 14:16

LAlien

Orthogonalsystem

Moin,

wie bekomme ich aus einer Basis ein Orthogonalsystem gebastelt? Einfach Gram-Schmidt oder? Ich brauch nur net normieren den ganzen Kram.

Wenn ich ein Orthogonalsystem habe, brauche ich nur noch die Vektoren zu normieren, um eine Orthonormalsystem zu bekommen oder? Warum ist das so? Offensichtlich beleibt das Skalarprodukt also erhalten, wenn ich Vektoren normiere. Warum? Gibts da nen Beweis?

16.08.2011, 14:20

Grouser

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vermutungen sind richtig.

Zitat:

Offensichtlich beleibt das Skalarprodukt also erhalten, wenn ich Vektoren normiere. Warum? Gibts da nen Beweis?

Wenn du damit meinst, dass das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren unabhängig derer Länge 0 ergibt. Dies folgt direkt aus den Forderungen an ein Skalarprodukt.

16.08.2011, 14:34

LAlien

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, aber kannst du vielleicht die Forderung aufschreiben? Ich denke das wird die Linearität sein oder? Ist warhscinelich nur ein 1-Zeiler, aber ich kriege es gerade nicht hin. Kannst du mal das hinschreiben pls

16.08.2011, 14:38

Grouser

Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...eine_Definition

Aus der Linearität bezüglich skalarer Multiplikation folgt die gewünschte Eigenschaft.

16.08.2011, 15:05

LAlien

Auf diesen Beitrag antworten »

Sei $\begin{eqnarray*} <x,y> \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt über $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb{K}^n \end{eqnarray*}$ und es gelte:

$\begin{eqnarray*} <x,y> = 0 \end{eqnarray*}$

dann gilt:

$\begin{eqnarray*} <x,y> \stackrel{!}{=} <\mu\cdot x,\lambda\cdot y> = \mu\cdot \lambda\cdot <x,y> = \mu\cdot\lambda\cdot 0 = 0\text{ }\square \end{eqnarray*}$

Die Anschauliche Erklärung ist wohl, dass das rausziehen eines Skalars die Richtung des Vektors nicht ändert und sie eben orthogonal zueinander bleiben. Augenzwinkern

16.08.2011, 15:31

Jeremy124

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, mir gefällt dein "Beweis" nicht. Die Idee hast du richtig verstanden, aber
das geht nicht als sauberer Beweis durch.

Also erstmal musst du es sauber formulieren.

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum. Für $\begin{eqnarray*} x,y \in V \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} \langle x, y \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt auch $\begin{eqnarray*} \langle \lambda x, \mu y \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda, \mu \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Beweis:
$\begin{eqnarray*} \langle \lambda x, \mu y \rangle = \lambda \mu \langle x,y \rangle = 0. \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Orthogonalsystem

Verwandte Themen