Vektoranalysis Linienintegral in der Ebene

16.08.2011, 19:25	yellowt	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoranalysis Linienintegral in der Ebene Aufgabe: Gegeben ist die ebene Kurve C durch $\begin{eqnarray} \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} cos(t) \\ sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0\leq t\leq 2\pi \end{eqnarray}$ und das ebene Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec{F}(x,y) = \begin{pmatrix} y+6 \\ x+2y-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weisen Sie $\begin{eqnarray} \int_C \! \vec{F} \, d\vec{r} = 0 \end{eqnarray}$ nach. So ich hab mir aus der Formelsammlung folgende Formel herausgesucht. $\begin{eqnarray} \int_(t_{1}) ^(t_{2}) \! (F_{x}x'+F_{y}y') dt \end{eqnarray}$ Nach dem einsetzen der Komponenten Fx und Fy und der Koordinaten x' und y' des Tangentenvektors schaut es so aus: $\begin{eqnarray} \int_(t_{1}) ^(t_{2}) \! [(y+6)cos(t)+(x+2y-3)sin(t)] dt \end{eqnarray}$ Nur komm ich so nicht weiter bzw. wie kann ich weiter vorgehen. Oder ist an der Formel etwas falsch?
16.08.2011, 19:46	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Latex-Schrieb ist etwas durcheinander und schreckt mich daher etwas ab. Es gilt $\begin{eqnarray} \int_C F dr = \int _0^{2\pi} \langle F(r(t),r(t)),r'(t) \rangle dt \end{eqnarray}$
16.08.2011, 20:08	yellowt	Auf diesen Beitrag antworten »
So sollte es bei mir ausschauen. $\begin{eqnarray} \int_{t1} ^{t2} \! ((y+6)cos(t)+(x+2y-3)sin(t)) dt \end{eqnarray}$ und die Formel dazu: $\begin{eqnarray} \int_{t1}^{t2} \! (\vec{F}_{x} \dot{x}+\vec{F}_{y}\dot{y} )\, dt \end{eqnarray}$
16.08.2011, 20:16	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel passt und deckt sich mit meiner, die Umsetzung nicht. Du musst für x,y jeweils die Komponente aus r einsetzen und der Punkt über dem x bzw meint die erste Ableitung der zugehörigen Komponente aus r.
16.08.2011, 20:29	yellowt	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für $\begin{eqnarray} \dot x \end{eqnarray}$ -sin(t) und $\begin{eqnarray} \dot y \end{eqnarray}$ cos(t)
16.08.2011, 20:31	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
jop
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16.08.2011, 20:39	yellowt	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{t1}^{t2} \! ((y+6)-sin(t)+(x+2y-3)cos(t) \, dt \end{eqnarray}$ gut dann schaut das so bei mir aus. Bringt mich aber nicht wirklich weiter.
16.08.2011, 20:42	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sagte bereits, dass du x und y auch jeweils ersetzen musst... Siehe oben.
16.08.2011, 20:47	yellowt	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ok aber was mach ich dann mit $\begin{eqnarray} \vec{F}(x,y) \end{eqnarray}$ wenn ich für x = cos(t) und für y = sin(t) einsetze?
16.08.2011, 20:49	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe die Frage nicht?! Du bildest halt $\begin{eqnarray} F(r(t)) \end{eqnarray}$
16.08.2011, 20:53	yellowt	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du das Integral vllt. aufschreiben? Verstehe das gerade irgendwie nicht.
16.08.2011, 21:05	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{0}^{2 \pi} \! -(sin(t)+6)\cdot sin(t)+(cos(t)+2sin(t)-3)cos(t) \, dt \end{eqnarray}$
16.08.2011, 21:37	yellowt	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi habe es jetzt Integriert und die Grenzen eingesetzt. Ergebnis passt auch soweit. Danke.

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