Quadratische Funktionen |
| 16.08.2011, 19:49 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Quadratische Funktionen Hallo. Wir haben momentan das Thema Quadratische Funktionen in Mathe, doch unser Lehrer kann uns den Stoff leider nicht verständlich übermitteln. Wir haben einige Übungsblätter bekommen und vielleicht kann mir hier jemand einfach mal 2 Aufgaben detailreich erklären, da ich hoffe, dass ich es, wenn ich es an einer Aufgabe vorgerechnet bekomme, dann alles verstehe. Also z.B.: 1.Eine Landwirtin will an einem Stall mit 20m Zaun einen Hühnerauslauf abgrenzen.Welche Länge und Breite muss sie wählen, um einen möglichst großen Auslauf zu erhalten? 2.Ein Gegenstand wird aus einer Höhe von 2m in die Luft geworfen. Mithilfe der Gleichung y=80t+2-5t² kann die erreichte Höhe h nach t Sekunden berechnet werden. a.Wie hoch ist der Gegenstand nach 5 Sekunden geflogen? b.Wann hat der Gegenstand die maximale Höhe erreicht? c.Nach wie vielen Sekunden ist der Gegenstand wieder auf dem Boden gelandet? Meine Ideen: Viele eigene Vorschläge kann ich leider nicht liefern, da ich langsam gar nicht mehr durchblicke und selbst die einfachsten Grundlagen zur Wissenschaft werden. Zu 1. : Also ich denke, hierzu brauche ich erstmal eine Formal nach y=x²+px+q. Muss ich dann für y 20 einsetzen?? Zu 2. : Muss ich dann aus y=80t+2-5t² dann erstmal die Scheitelpunktform machen, indem ich -5 vorklammere? Also y=-5(t²+16t)+2 Und dann müsste doch eigentlich die quadratische Ergänzung kommen, oder? Aber diese kann ich an diesem Beispiel einfach nicht anwenden. Und das mit -5 verwirrt mich auch, weil ich nicht weiß, ob ich -5 vorklammern muss oder 5 und wie das dann in der Klammer mit den Vorzeichen läuft. ??? Ich wäre sehr, sehr, sehr dankbar, wenn jemand helfen könnte!Danke und liebe Grüße! |
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| 16.08.2011, 19:54 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Quadratische Funktionen Vielleicht sollten wir mit der ersten Aufgabe anfangen. Dazu brauchst du vor allem die Formel für den Umfang eines Rechtecks. Weiterhin solltest du eine Gleichung aufstellen für die Fläche des Rechtecks mit den Seiten a und b. 
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| 16.08.2011, 20:04 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist das nicht zweimal die gleiche Formel:2a+2b? |
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| 16.08.2011, 20:07 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach quatsch! U=2a+2b A=a*b Das war doch gemeint, oder? |
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| 16.08.2011, 20:08 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Umfang wäre in der Tat: u = 2a + 2b, wobei du die konkrete Zahl 20 einsetzen kannst. Die Fläche hat eine andere Formel, und die brauchen wir, denn mit ihr wird die Funktionsgleichung aufgestellt. Hintergrundwissen: Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe. Da muss man die Funktion mit Hilfe der Größe aufstellen, die einen Extremwert annehmen soll. In unserem Fall soll die Fläche maximal werden.
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| 16.08.2011, 20:09 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt. 
Jetzt setzt du u = 20 und stellst die Gleichung nach einer der beiden Variablen um.
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| 16.08.2011, 20:16 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank erstmal hierfür, das ist schonmal gut zu wissen. Schade, dass unser Mathelehrer uns das so nicht sagen kann. (...) U=2a+2b (=) 20=2a+2b |-2b 20-2b=2a (=) 2a=20-2b 
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| 16.08.2011, 20:20 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, das sind feine Umstellungen.
Wir können noch durch 2 teilen und haben dann nach a umgestellt.
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| 16.08.2011, 20:21 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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a=10-b Und nun?
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| 16.08.2011, 20:23 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt kannst du das a aus der Flächenformel durch den gefundenen Ausdruck ersetzen und bekommst eine quadratische Gleichung.
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| 16.08.2011, 20:25 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, aber welcher gefundene Ausdruck??
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| 16.08.2011, 20:27 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du ersetzt das a in dieser Formel: A = a·b durch die rechte Seite der Gleichung a = 10 - b
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| 16.08.2011, 20:31 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso! Also A=(10-b)*b (=) A= 10b-b² (?) Aber wie kommt man darauf, dass Flächeninhalt und Umfang hier zusammenhängen? |
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| 16.08.2011, 20:35 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, das ist bei Flächen halt so, dass es den Zusammenhang gibt. Bei Rechtecken siehst du es an den Formeln: u = 2a + 2b und A = a·b Es sind beidesmal die gleichen Variablen und es gibt einen direkten Zusammenhang. Deine Umformung stimmt.
Jetzt kannst du etwas umstellen (-b² nach vorne) und dann die Scheitelpunktform bilden.
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| 16.08.2011, 20:42 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay. A=(-b+5)² |
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| 16.08.2011, 20:46 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, das kann ich nicht ganz nachvollziehen. Wir haben: A(b) = 10b - b² A(b) = -b² + 10b A(b) = - (b² - 10b + ___ - ___) Auf die Striche muss nun eine Zahl, mit der du die 2. binom. Formel bilden kannst. Sie wird gleich wieder abgezogen.
edit: Die 5 war ja gar nicht so verkehrt, aber das Rechenzeichen stimmte nicht. Weiterhin fehlte noch der Ausdruck hinter der Klammer. 
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| 16.08.2011, 21:00 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das verstehe ich jetzt wieder nicht. Die 2. binomische Formel ist doch: ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 Die passt doch gar nicht hierzu oder? |
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| 16.08.2011, 21:02 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch, denn wir müssen das Minus vor dem b² ausklammern.
Du kannst es sehen, wie ich es oben gemacht habe.
edit: Die ² erhältst du durch AltGr 2 |
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| 16.08.2011, 21:12 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du die Lücken vielleicht mal füllen? Ich verstehe es zwar, aber ich weiß nicht, was ich einsetzen muss. |
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| 16.08.2011, 21:16 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
A(b) = -b² + 10b A(b) = - (b² - 10b + 25 - 25) Kannst du das nachvollziehen? Und weil der nächste Schritt knifflig ist, schreibe ich ihn dir mal auf: A(b) = - [(b - 5)² - 25)] Du darfst an dieser Stelle nicht vergessen, dass ja das Minus vor der Klammer steht und auch die - 25 betrifft, deswegen die eckige Klammer. Bei der anderen Aufgabe kommt etwas ähnlches vor.
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| 16.08.2011, 21:20 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, ja klar. Das ist dann die quadratische Ergänzung, genau.
Jetzt habe ich ja praktisch die Scheitelpunktform,oder? Und wie gehts jetzt weiter? |
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| 16.08.2011, 21:22 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du bist noch nicht ganz fertig. Du musst die -25 noch aus der eckigen Klammer holen. Dann kannst du die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt ablesen. Weißt du , wie es geht?
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| 16.08.2011, 21:23 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Einfach +25? |
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| 16.08.2011, 21:26 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja.
Wie lautet also die Scheitelpunktform und wie der Scheitelpunkt? An ihm kannst du den gesuchten Wert ablesen. (Ich nehme an, du kennst noch keine Ableitungen / Differenzieren). |
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| 16.08.2011, 21:31 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
25=-(b-5)² S(-25|5) Stimmt das?
Nein, keine Ahnung. |
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| 16.08.2011, 21:35 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, du musst die 25 schon auf der rechten Seite lassen.
A(b) = - [(b - 5)² - 25)] A(b) = - (b - 5)² + 25 Und den Scheitelpunkt bestimmst du einfach nach dem Prinzip: y= (x - d)² + e => S(d|e)
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| 16.08.2011, 21:37 | Casper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, ja klar, minus und minus gibt plus. 
Also ist S(-5|25) -5 müsste doch stimmen wegen zwei mal minus oder? Und inwiefern hilft mir der Scheitelpunkt jetzt bei der Beantwortung der Frage? |
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| 16.08.2011, 21:40 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das Minus vor der Klammer brauchst du für den Scheitelpunkt nicht zu beachten. Er liegt bei (5|25). Die x-Koordinate ist dabei die Variable der Funktionsgleichung, also das b. Die y-Koordinate ist die gesuchte maximale Größe, hier also die Fläche. Mit Hilfe von b kannst du auch a ausrechnen. edit: Hier noch der Graph der Funktion, du kannst den Scheitelpunkt erkennen:
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