Stetigkeit in L1

16.08.2011, 19:59	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit in L1 Hallo, Sei f aus L1, dann ist die Fouriertransformierte stetig. Ist auch diese wieder in L1, so kann man sie rücktransformieren. Die Rücktransformierte ist aber auch stetig. Heißt dass, dass jede Funktion in L1, deren Fouriertransformierte auch in L1 liegt, eine stetige Funktion in ihrer Äquivalenzklasse hat?
16.08.2011, 21:34	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja das heisst das. Die Fouriertransformierten sind sogar gleichmässig stetig. mfg
16.08.2011, 21:51	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Also weiß ich automatisch, dass eine Funktion in L1, die nicht durch Änderung auf einer Nullmenge stetig gemacht werden kann, ihre Transformierte nicht in L1 hat? Edit: Zum Beispiel die Funktion $\begin{eqnarray} \chi_{[0,1]} \end{eqnarray}$
16.08.2011, 23:25	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, dein Beispiel hat ja als Transformierte im wesentlichen die Funktion $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray}$ welche nicht integrierbar über $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist. mfg
16.08.2011, 23:31	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja interessant. Das heißt, die kleinste Unstetigkeit, bzw. der kleinste Sprung reicht und es geht in die Hose. Weiß man, wie die FT zu $\begin{eqnarray} a\chi_{[0,a]} \end{eqnarray}$ für a>0 aussieht? Eben zum Beispiel mit a=1, da schreibst du "im wesentlichen" die Funktion $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray}$ Was meinst du damit? Bis auf eine Nullmenge?
17.08.2011, 12:09	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit in L2 Noch eine weitere Frage dazu: Die FT ist ja auch in L2 definiert. Hier muss das Ergebnis aber nicht mehr bis auf eine Nullmenge stetig sein (was bei L1-Funktionen ja immer der Fall ist), denn das Ergebnis liegt ja wieder in L2 und man kommt über die inverse Transformation immer wieder zurück. Richtig?
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17.08.2011, 12:47	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die FT linear ist ist eine Konstante bei der Bestimmung eh irrelevant, die kann man ja rausziehn. Schauen wir mal die Abschneidefunktion an $\begin{eqnarray} F(\chi_{[0,1]})(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \limits_{0}^{1}e^{-ikx}dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-ik} - 1}{-ik}<br /> \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k \neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> F(\chi_{[0,1]})(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}<br /> \end{eqnarray}$ In diesem Sinne habe ich mich vertan, da für $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray}$ du ein symmetrisches Intevall wie $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ brauchst. Also $\begin{eqnarray} F(\chi_{[-1,1]})(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \limits_{-1}^{1}e^{ikx}dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-ik} - e^{ik}}{-ik} = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\frac{\sin(k)}{k}<br /> \end{eqnarray}$ Die Normierungskonstante $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray}$ ist nicht überall festgelegt, gelegentlich wird diese weggelassen bzw. durch $\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi} \end{eqnarray}$ ersetzt. Entsprechend wäre dann die Umkehrtransformation anzupassen. Auf jedenfall sieht man, dass die Transformierten zwar stetig, sogar analytisch sind, jedoch selbst nicht integrierbar! Bei der FT im L^2 muss man mehr aufpassen, diese Transformation ist nicht durch das Integral gegeben. Man benutzt durch eher die eindeutige Fortsetzung, und dazu die Parselvalsche Identität. Im allgemeinen kann man jedoch von der Transformierten einer L^2 Funktion nicht erwarten, dass diese stetig ist. Zum beispiel lässt sich $\begin{eqnarray} \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\frac{\sin(k)}{k} \end{eqnarray}$ im Sinne der L^2 transformation transformieren. Die Rücktransformierte ist wieder bis auf Konstanten $\begin{eqnarray} \chi_{[-1,1]}(-x) \end{eqnarray}$ , welche ja nicht stetig ist. mfg
17.08.2011, 12:56	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank.

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