kein Häufungspunkt der Menge der Singularitäten auf einem Gebiet? |
| 17.08.2011, 09:11 | Hein 1234 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| kein Häufungspunkt der Menge der Singularitäten auf einem Gebiet? Im Beweis vom Residuensatz haben wir folgendes benutzt, was mir nicht so ganz klar ist. [vgl Jänich Funktionentheorie] Sei f eine eine Funktion die bis auf isolierte Singularitäten holomorph auf dem Gebiet G ist und S die Menge der isolierten Singularitäten von f in G. Außerdem ein Nullhomologer Zykel, dann umläuft nur endlich viele Singularitäten. Angenommen nicht. Da das Gebiet welches umläuft kompakt ist und S eine diskrete Menge ist müsste S dann einen Häufungspunkt haben. S kann aber keinen HP habe weil G ein Gebiet ist. und den letzten Satz verstehe ich nicht, kann mir jemand helfen? Meine Ideen: Falls S einen HP P hat stellt man zuerst fest dass dieser nicht in S liegt, denn ansonsten wäre er ja nicht isoliert. Dann ist f holomorph in P und kann als Potenzreihe mit positiven konvergenz radius eintwickelt werden. D.h. das die unendlich vielen singularätäten in einer kleinen Umgebung alle hebbar sind, aber deshalb können sie doch trotzdem existieren oder? ZB nehme ich die offene Einheitskreischeibe K und setze f(z)=z auf Dann ist K ein Gebiet und f holo auf K bis auf der Menge der isolierten Singularitäten, die aber in 0 einen HP hat. Oder nicht? |
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| 17.08.2011, 13:25 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Richtig, existieren können sie trotzdem, die Def.menge der Funktion kann ja wie bei dir extra so gewählt werden. Da das Residuum einer hebbaren Singularität aber immer =0 ist, brauchen diese beim Beweis des Residuensatzes nicht berücksichtigt zu werden. Das sollte aber ggf. dabeistehen. Steht da nirgends was von "maximaler Definitionsmenge" o.Ä.? |
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