Lane-Emden-Gleichung |
17.08.2011, 13:10 | wstnachhilfe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lane-Emden-Gleichung hallo, ich versuche seit einiger Zeit mit MuPad diese Gleichung numerisch zu lösen. Ich mache wahrscheinlich etwas falsch?! die Lane-Emdengleichung stammt aus der Astrophysik und beschreibt Sterne als plytrope Gaskugelen, was eine gute Näherung dafür ist. die Gleichung : y''(x) + 2/x*y'(x)+y^n =0 oder 1/x^2*d/dx(x^2*dy/dy) + y^n=0 analytische Lösungen findet man für Werte n?{0,1,5}, alle anderen exponenten müssen numerisch berechnet werden - das ist mein Problem! Meine Ideen: 1. Versuch: f:= [y,x] -> [y[2],-2/x*y[2]]: y[0]:=[1]: for i from 1 to 10 step 0.01 do Y[i]:=numeric::odesolve(f, t[i-1]..t[i], Y[i-1]) end_for: dabei kommen aber nur unbrauchbare Ergebniss heraus, vielleicht kann mit jemand einen richtigen Tipp geben? |
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18.08.2011, 10:07 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Versuch's doch mal mit der klassischen "Einschritt-Methode", also ohne spezielle Programme wie MuPad. Der Programmieraufwand ist sehr gering. Zu Not kann man das auch schnell mit EXCEL machen, was nur 15 Minuten dauert: Wandle dazu deine Dgl. 2.Ordnung in ein Dgl.-System aus 2 Gleichungen 1.Ordnung um, indem du die neue Funktion einführst. Das ergibt das Dgl.-System 1.Ordnung Aus den beiden Anfangsbedingungen und werden damit die Anfangsbedingungen: Nun stelle im obigen Dgl.-System wie üblich die 1.Ableitungen y', z' als Differenzenquotienten mit der Schrittweite dar, also . Ersetze damit in die beiden obigen Dgl. die 1.Ableitungen und stelle nach bzw. um. Das ergibt die gesuchten Rekursivformeln für den k-ten Schritt Berechne damit die gesuchten Funktionen step by step, wobei du die Schrittweite genügend klein wählen musst. Mit EXCEL geht die Rechnung und grafische Darstellung wunderbar einfach. |
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