Multiple choice auf gut Glück beantworten

17.08.2011, 13:20

wior

Multiple choice auf gut Glück beantworten

Meine Frage:
Die Aufgabe:
Eine Prüfung besteht aus 12 Fragen, die mit "ja" oder "nein" zu beantworten sind. Sie gilt bei mindestens 8 Fragen als bestanden.

Teil a) Der Student kreuzt auf gut Glück an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er?
Teil b) Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit wenn er die Anwort auf 2 Fragen kennt und nur den rest zufällig ankreuzt?
Teil c) Falls der Student nichts weiß, wäre es für ihn günstiger, aus gut Glück 6-mal und 6-mal nein anzukreuzen, vorausgesetzt, dass für genau 6 Fragen die richtige Antwort "ja" lautet?

Teil a und b habe ich mit der hypergeometrischen Verteilung gelöst.
Sei X die Anzahl der richtig beantworteten Fragen, dann gilt
Teil a) $\begin{eqnarray*} P(X \geq 8) = 0,1938 \end{eqnarray*}$
Teil b) $\begin{eqnarray*} P(2+X \geq 8) = 0,3770 \end{eqnarray*}$
Aber bei Teil c bin ich verwirrt. Ich habe keine Ahnung wie man das mit Hypergeometrischer Verteilung, Poisonapproximation, Poisson oder Multinomialverteilung lösen könnte. (Das sind die Themen vor der Aufgabe in diesem Buch)

Meine Ideen:
In einem anderen Buch habe ich die Koinzidenzverteilung gefunden.

Sei $\begin{eqnarray*} Y(\omega) \end{eqnarray*}$ in einer zufälligen Permutation $\begin{eqnarray*} \omega = (\omega_1,...,\omega_N) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \{1,...N\} \end{eqnarray*}$ die Zahl der k mit $\begin{eqnarray*} \omega_k = k \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} P (Y = n) = 1/n!\sum\limits_{i=0}^{N-n} (-1)^i/i! \end{eqnarray*}$

Aber hier verteile ich ja durchnummerierte "Kugeln" auf Plätze, wobei es bei dem Test egal ist welches "ja" ich auf welche "ja"-Antwort verteile.

17.08.2011, 13:39

Dustin

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Hallo wior,

ich glaube, dich verwirren mehr die Bezeichnungen für die Verteilungen.

Bei a) und b) hast du NICHT die hypergeometrische Verteilung verwendet, sondern die Binomialverteilung (und du hast sie verwendet, denn deine Ergebnisse stimmen). Bei c) wäre dann die Hypergeometrische Verteilung an der Reihe.

Wenn dir das noch nicht weiterhilft, dann schreib doch mal hin, was deiner Meinung nach die hypergeom. Verteilung ist.

VG Dustin

17.08.2011, 14:27

Dopap

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bei c.) will mir nicht so recht ein Urnenmodell mit Ziehen ohne Zurücklegen einfallen, das dem Problem gerecht wird=repräsentiert. verwirrt

17.08.2011, 14:45

Dustin

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@Dopap: musste auch erst überlegen, aber es geht Augenzwinkern

Mal abwarten, was wior so einfällt smile

17.08.2011, 15:04

wior

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@ Dustin
Klar hab ich die binomialverteilung genommen. Ich war beim Schreiben etwas zu hastig.

Muss ich für Teil c, die hypergeometrische Verteilung zweimal verwenden, einmal für den "ja"-Teil und einmal für den "nein"-Teil und dann die Summe der richtigen Antworten aus beiden betrachten?

Sei X hyp(n,g,w) verteilt, mit $\begin{eqnarray*} P(X = k) = \frac{\begin{pmatrix} w \\ k\end{pmatrix} \begin{pmatrix} g-w \\ n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} g\\ n\end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$ als hypergeometrische Verteilung und w = Anzahl "Erfolge", n die Stichprobengröße, und g die Anzahl der möglichen Ereignisse.

Wenn ich jetzt die Wahrscheinlichkeit berechnen will, die "ja" antworten richtig zu beantworten und Y die Anzahl der Treffer ist, dann sollte Y hyp(6,12,6) verteilt sein.

Das ganze nochmal mit Z für den "nein" Teil.

Dann ist X Y+Z verteilt. Heißt das, dass ich jetzt "nur" noch die Wahrscheinlichkeiten aller Kombinationen aus Y und Z berechnen muss deren Summe größergleich 8 ist?

$\begin{eqnarray*} \forall i,j ( i+j\geq 8) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^6\prod\limits_{j=2}^6 P(Y = i)P(Z = j) = P(X \geq 8) \end{eqnarray*}$

17.08.2011, 15:22

Dustin

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Zitat:

Wenn ich jetzt die Wahrscheinlichkeit berechnen will, die "ja" antworten richtig zu beantworten und Y die Anzahl der Treffer ist, dann sollte Y hyp(6,12,6) verteilt sein.

Genau

Zitat:

Das ganze nochmal mit Z für den "nein" Teil.

Nein! Du gehst davon aus, dass die Zahl der richtigen "ja"- und der richtigen "nein"- Antworten stochastisch unabhängig sind. Das ist jedoch nicht der Fall, denn man hat immer genauso viele richtige "ja"- wie "nein"- Antworten. Zur Veranschaulichung:
Sagen wir, die ersten sechs Fragen sind korrekterweise mit ja und die anderen sechs mit nein zu beantworten. Wenn wir uns nun entschließen, Frage 1,3,7,8,10,11 mit ja zu beantworten, haben wir Frage 1,3 richtig beantwortet (Y=2, so wie du Y definiert hast). Automatisch ist dann auch Z=3 (Fragen 9,12 wurden korrekt mit nein beantwortet).
Lass dir das ruhig erstmal durch den Kopf gehen (ich hab auch länger dran überlegt smile

)

Also gilt immer Y=Z. Y ist hypergeometrisch verteilt, wie von dir ausgeführt. Also? smile

17.08.2011, 15:57

wior

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Also ist X Y + Z = Y + Y = 2 Y verteilt und dann ist

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 8) = P(Y \geq 4) = \sum\limits_{k=4}^6 \frac{\begin{pmatrix} 6 \\ k\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12-6 \\ 6-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 12\\ 6\end{pmatrix}} = 0,2435+0,039+0,001 = 0,2835 \end{eqnarray*}$

Das heißt, man ist besser dran, als wenn man keine Anworten kennt, aber immer noch arm dran, wenns ernst wird. Big Laugh

Und wenn ich jetzt Teil b mit c kombinieren will, also
d) zwei "ja" Anworten weiß und den Rest nach Muster c rate
e) eine "ja" und eine "nein" Antwort weiß

ist dann

d) Y hyp(4, 8, 4) verteilt und P(X >= 8) = P(Y >= 2)?
e) Y hyp(5,10,5) verteilt und P(X >= 8) = P(Y >= 3)?

17.08.2011, 16:07

Dustin

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c) richtig Freude

e): ja

d): nein, diese Rechnung wäre richtig, wenn man zwei "ja"- UND zwei "nein"- Antworten wüsste.

Sowohl bei d) als auch bei e) wäre dann wieder Voraussetzung, dass 6x ja und 6xnein richtig ist.

17.08.2011, 16:31

wior

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aber prinzipiell gilt ja für d schon P(X >= 8) = P(Y >= 2)? da ich zwei "ja"Antworten richtig habe, hab ich auch zwei "nein"-Antworten richtig, also muss ich nur nochmal zwei "ja" Antworten richtig setzen um zu bestehen.

17.08.2011, 16:47

Dustin

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Zitat:

aber prinzipiell gilt ja für d schon P(X >= 8) = P(Y >= 2)?

Nein! Wenn ich dir das sage, kannst du mir das schon glauben Augenzwinkern

Zitat:

da ich zwei "ja"Antworten richtig habe, hab ich auch zwei "nein"-Antworten richtig, also muss ich nur nochmal zwei "ja" Antworten richtig setzen um zu bestehen.

Da du aber nicht weißt, WELCHE beiden nein-Antworten du richtig hast, kannst du auch nicht sagen, welche anderen acht Antworten du nun noch betrachtest. Deswegen lässt sich das so nicht rechnen. Also der Unterschied ist der:

Fall 1: Du weißt z.B., dass Frage 1 und 2 mit ja, 3 und 4 mit nein beantwortet werden müssen. Du weißt ferner, dass von den übrigen 8 Fragen noch genau 4 mit ja beantwortet werden müssen.

Fall 2: Du weißt nur, dass Frage 1 und 2 mit ja beantwortet werden müssen. Ferner weißt du, dass von den übrigen 10 Fragen noch 4xja und 6xnein die richtige Antwort ist.

Klar jetzt, wo der Unterschied liegt? smile

Zwar weißt du auch bei Fall 1, dass du mit der Methode von Aufgabe c) auch mindestens zwei nein-Fragen richtig beantworten wirst, aber da du nicht weißt welche, bringt dir das nichts als Rechenansatz und die Rechnung ist eine andere.

17.08.2011, 16:59

wior

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Kannst du mir bitte kurz erklären wie man da weiterrechnet, geht das da noch mit der hyp Verteilung?

17.08.2011, 17:06

Dustin

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Yo klaro, du hast (also bei d))

- 10 Fragen übrig (g=10)
- genau 4 davon sind mit ja zu beantworten (w=4)
- du wählst vier Fragen aus, die du mit ja beantwortest (n=4)
Für X soll $\begin{eqnarray*} X\geq2 \end{eqnarray*}$ gelten, da ja mindestens vier richtige ja-Antworten dabei sein müssen.

Du brauchst dich die ganze Zeit überhaupt nicht um die nein-Antowrten zu kümmern, solange du berücksichtigst, dass es ebensoviele richtige ja- wie nein-Antworten gibt.

17.08.2011, 18:08

wior

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Danke, ich glaube ich beginne zu vertehen.

17.08.2011, 18:11

Dustin

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Dann rechne mir doch die d) und die e) mal vor smile

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