Matrix mit unterschiedlichen Eigenwerten

17.08.2011, 14:18	nzuri	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix mit unterschiedlichen Eigenwerten Hi, ich habe folgende Matrix gegeben, und soll die die Aussage bewerten, dass die Matrix mindestens 2 verschiedene, reelle Eigenwerte hat. Laut Lösung ist die Aussage wahr, aber ich komm nicht dahinter wieso. $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 4 \\ -1 & 2010 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2009 & 1 \\ 4 & -1 & 1 & 2000 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Soweit bin ich: Die Matrix ist symmetrisch und hat deshalb ein rein reelles Spektrum. Reelle Eigenwerte ist also schonmal abgeklärt. Aber warum min. 2 Verschiedene? warum kann die Matrix nicht 4 mal den selben Eigenwert haben? Irgendwas fehlt mir da scheinbar, denn der Sinn dieser Aufgabe ist sicher nicht, dass charakteristische Polynom aufzustellen (bei ca. 6 min. pro Aufg. in der Prüfung) oder? Vielen Dank für Denkanstöße. LG Peter
17.08.2011, 14:35	Jeremy124	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix mit unterschiedlichen Eigenwerten Habt ihr Gershgorin-Bänder gehabt? Sagt dir das was?
17.08.2011, 14:38	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerschgorin ist hier wirklich zuviel des Guten. Was für Sätze über die Diagonalisierbarkeit von symmetrischen Matrizen sind dir denn bekannt?
17.08.2011, 15:21	Jeremy124	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, ok, weil das Diagonal Element 1 und das 2000 ... Das schreit ja gerade nach Gershgorin.
17.08.2011, 15:32	nzuri	Auf diesen Beitrag antworten »
äähm ja greshgorin auch, aber die kreise helfen ja nicht weiter, weil es ja nur heißt, dass die eigenwerte in den kreisen liegen, aber ja nicht, dass auch in jedem kries einer liegt... diagonalisierbar sind für mich normale matrizen, wie etwa symmetrische sind unitär diagonalisierbar: AV=VD (V bestehend aus Eigenvektoren (bei symmetrischen Matrizen: aus senkrecht aufeinanderstehenden EV) -> V ist unitär, und D als Diagnonalmatrix mit den Eigenwerten in der Diagonalen). Über die Diagonalmatrix mit den EW hatte ich auch schon nachgedacht, aber ich habe keine Ahunung, wie mich das weiterbringt. Woher kann ich wissen, wie D dann aussieht?
17.08.2011, 16:42	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lambda E \end{eqnarray}$ kommutiert mit jeder Matrix. Damit kann man leicht zeigen, dass die einzige symmetrische Matrix mit nur einem Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda E \end{eqnarray}$ ist. Edit: Noch viel einfacher gehts, wenn man einfach den Eigenraum betrachtet.
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