Folge beweisen

17.08.2011, 14:42

IHC

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Folge beweisen

Hi leute,

wie kann ich Beweisen, dass folgende Folge gegen 2 konvergiert?

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{4n+100}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass ich folgendes dazu benötige:

$\begin{eqnarray*} | a_{n}-a | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Nur was muss ich tun?

Meine Idee:

Muss ich für das $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ vllt. oben genannte Folge
einsetzen verwirrt

verwirrt

mfg IHC

17.08.2011, 14:44

phlowe

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Klammer mal oben und unten n aus und schau wohin zähle und nenner konvergieren.

17.08.2011, 14:46

klarsoweit

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RE: Folge beweisen
Wenn ich IHC richtig interpretiere, soll er es aber mit der epsilon-Definition beweisen, oder?

17.08.2011, 14:54

IHC

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RE: Folge beweisen
Mein Lehrer hat gesagt, wir sollen nach n umstellen und mit
Epsilon irgendwas machen.

17.08.2011, 14:55

phlowe

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So können wir es auch machen, aber ich hatte jetzt vermutet, dass das einfach sein erster gedanke war als er konvergenz las.
aber wenn du das so machen möchtest setze doch mal für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und dann für a ein und schau ob du die differenz vereinfachen kannst

17.08.2011, 14:57

IHC

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So?

$\begin{eqnarray*} | \frac{4n+100}{2n+1} -2 |<\epsilon \end{eqnarray*}$

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17.08.2011, 15:00

phlowe

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Zitat:

und schau ob du die differenz vereinfachen kannst

...

aber bisher ists richtig

17.08.2011, 15:05

IHC

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Wenn ich alles gerechnet habe, komme ich auf das hier:

$\begin{eqnarray*} n>\frac{49}{\epsilon}-0,5 \end{eqnarray*}$

Könnte das stimmen?

17.08.2011, 15:11

phlowe

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jepp, hab ich auch raus

17.08.2011, 15:13

IHC

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Danke dir. Wink

Wink

mfg IHC

17.08.2011, 15:27

IHC

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Was hat es denn noch mit dieser Schreibweise auf sich?

$\begin{eqnarray*} n_{0}=[\frac{49}{\epsilon}-0,5]+1 \end{eqnarray*}$

(gehört laut Lehrer noch zur oben genannten Aufgabe)

mfg IHC

17.08.2011, 15:36

phlowe

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$\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ist eine natürliche zahl sodass für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ der Abstand kleiner als Epsilon ist. da könnte genausogut hinten +0.1 oder +1000 stehen.

17.08.2011, 15:39

IHC

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ist also das hinter der Klammer egal?
Kann ich in einem Test einfach immer die 1 schreiben?

17.08.2011, 15:44

phlowe

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ja. da du einfach nur > erreichen möchtest reicht ein +1. das ist so üblich und das kannst du im test so schreiben

17.08.2011, 15:46

IHC

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Danke dir.

Habe aber noch ne Frage.
Woran kann ich erkennen, ob es sich um eine Nullfolge handelt?

17.08.2011, 15:49

phlowe

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Ganz allgemein: wenn der grenzwert null ist. die werte für große n also betragsmäßig sehr klein werden. sehr häufig betrachtet man brüche, dann muss man schauen ob der zähler oder nenner schneller wächst. wächst der nenner schneller handelt es sich um eine null folge.

aber ein allgemeines rezept wie du eine nullfolge direkt bei hinschauen identifizierst gibt es nicht,

17.08.2011, 15:51

IHC

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Ok, danke.
Ich möchte sie auch nicht direkt erkennen, sondern erst was rechnen. Big Laugh

Big Laugh

17.08.2011, 15:54

phlowe

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ja, doch auch diese rechenschritte sind nicht imemr gleich. aber wenn du schon vermutest dass es sich um eine nullfolge handelt kannst du versuch deine folge gegen eine schon bekannte nullfolge abzuschätzen. gegen 1/n zum beispiel

17.08.2011, 15:56

IHC

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Damit komme ich nicht zurecht.

Handelt es sich bei meiner Folge nicht nur bei den Abständen a um eine Nullfolge?

17.08.2011, 16:07

phlowe

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ja das stimmt. ich war nicht mehr bei unserem beispiel sondern wenn dir zum beispiel folgende folge vorliegt: $\begin{eqnarray*} sin(n)/n \end{eqnarray*}$ . Diese könntest du durch 1/n abschätzen und so zeigen dass es sich um eine nullfolge handelt.

17.08.2011, 16:08

IHC

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Aha, da kann ich dir nicht mehr so gut folgen. unglücklich

unglücklich

17.08.2011, 16:17

phlowe

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Ok wir wollen also zeigen, dass sin(x)/x nullfolge ist.
wir wissen, dass |sin(n)|<= 1 für alle n in R.
also gilt offensichtlich dass $\begin{eqnarray*} \frac{sin(n)}{n} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Von der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ wissen wir dass es eine nullfolge ist. und da $\begin{eqnarray*} \frac{sin(n)}{n} \end{eqnarray*}$ sogar noch kleiner ist, muss es gezwungenerweise auch eine nullfolge sein. falls dir diese schlussfolgerung nicht klar ist google doch mal sandwich lemma oder quetsch lemma

17.08.2011, 16:19

IHC

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So langsam wird es mir klar, lese es mir nochmal durch, wenn wir das
dann auch genau so im Unterricht besprechen.

mfg IHC

17.08.2011, 17:55

moclus

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wollte ma interessenhalber mitrechnen aber komm nicht auf das ergebnis (threadaufgabe).

Wie habt ihr das genau gerechnet?

17.08.2011, 18:00

IHC

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$\begin{eqnarray*} | \frac{4n+100}{2n+1} -2 |<\epsilon \end{eqnarray*}$

Als nächstes habe ich die zwei innerhalb der Betragsstriche zu einem
Bruch gemacht und dann beide Brüche auf den selben Nenner gebracht.

Weitere Schritte folgen gleich. Big Laugh

Big Laugh

17.08.2011, 18:02

moclus

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ja bin grade dabei hab den bruch auch erweitert
warst du auch irgendwann :

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}\frac{98}{2n+1} \end{vmatrix} < \in \end{eqnarray*}$

17.08.2011, 18:03

IHC

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Jop, bis dahin sind wir mal gleich. Wink

Wink

Wie haste weitergemacht?

17.08.2011, 18:04

moclus

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ich bin grad am nachdenken Big Laugh

Big Laugh

Den Nenner multiplizieren?

17.08.2011, 18:06

IHC

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Jop.
Die Betragsstriche kannste einfach wegfallen lassen, da der Zähler ja positiv ist.
Wenn er negativ wäre, bräuchtest du sie ja noch.

Einfach den Nenner auf die andere Seite und dann durch Epsilon teilen.

Mach es mal. smile

smile

17.08.2011, 18:08

moclus

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$\begin{eqnarray*} \frac{98}{\in } < 2n+1 \end{eqnarray*}$

ist das noch korrekt :o ?

17.08.2011, 18:08

IHC

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Jop.
Und jetzt musst du dafür sorgen, dass n alleine steht.

smile

smile

17.08.2011, 18:14

moclus

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$\begin{eqnarray*} \frac{98}{\in } < 2n+1 | :2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{49}{\in } < n+0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{49}{\in } < n+0,5 |-0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{49}{\in } -0,5 < n \end{eqnarray*}$

Doch irgendwie versteh ich das mit dem Größer/Kleiner Zeichen nun nicht ^^
ich hab doch garnicht durch eine negative Zahl dividiert oder multipliziert ...

edit: ah doch es ist richtig Big Laugh

Big Laugh

vielen dank für deine hilfe!!
Gibt es noch seiten wo das nochmal mit mehreren aufgaben erklärt wird??

17.08.2011, 18:15

IHC

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Das stimmt doch so.

Edit:

Musste mal auf google suchen.
vllt. findest du da noch seiten mit Übungen.

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