Formel für Reihe ermitteln

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Danielo123 Auf diesen Beitrag antworten »
Formel für Reihe ermitteln
Meine Frage:
Ich versuche, eine Formel herauszufinden, mit der ich ermitteln kann, wie oft eine Nachricht verbreitet wurde:

A gibt die Nachricht an x Personen weiter. Jede dieser Personen gibt sie an x Personen weiter etc.
Wie viele Personen haben die Nachricht in der 5. oder 10. Stufe weitergegeben wurde?

Mein Abi liegt inzwischen 40 jahre zurück,, deshalb brauche ich Hilfe.

Meine Ideen:
Ich habe in einer Excel Tabelle Namen eingesetzt und dann die Ergebnisse ermittelt, wenn x=3 ist.
Die Reihe heißt 1, 3, 12, 52, 295.

Ich probiere schon seit Stunden, wälze meine alten Formelsammlungen, habe gedacht, dass mir Excel vielleicht die Reihe automatisch fortsetzen kann und sogar die Formel dafür angibt - doch ohne Erfolg.

Wer kann mir helfen?

Vielen Dank,
Daniel
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du zu den Zahlen deiner Reihe gekommen bist, ist nicht ersichtlich bzw. fehlerhaft. In der 4. Stufe beispielsweise wissen genau 40 (1 + 3 + 9 + 27) Personen von dieser Nachricht.

Denn die der Reihe zugehörige Folge heisst

1, 3, 9, 27, 81, ....

d.s. die jeweils neu hinzukommenden Nachrichtenempfänger.
Zu dieser Folge kann zu jedem beliebigen Zeitpunkt n (= Stufe) die Reihensumme nach



bestimmt werden. Welche Art von Folge/Reihe liegt hier vor und wie kommt diese Summenformel zustande?

mY+
Danielo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort.
In meine Reihe hatte sich ein Fehler eingeschlichen.

Aber auch Dein Ergebnis kann ich nicht nachvollziehen.
Gibt es ein Missverständnis?


Hier meine Rechnung für den Fall, wenn x=3 ist.

Ich gebe die Nachricht an 3 Personen weiter.
Damit haben - außer mir - 3 Personen Kenntnis über die Nachricht.

Diese 3 geben die Nachricht an jeweils weitere 3 Personen weiter.
Es kommen also 9 Personen dazu.
Damit haben 12 Personen Kenntnis über die Nachricht.

Die 9 Dazugekommenen geben die Nachricht an jeweils 3 Personen weiter.
Es kommen also 27 Personen dazu.
Damit haben 39 Personen Kenntnis über die Nachricht.

Die 27 Dazugekommenen geben die Nachricht an jeweils 3 Personen weiter.
Es kommen also 81 Personen dazu.
Damit haben 120 Personen Kenntnis über die Nachricht.

Die 81 Dazugekommenen geben die Nachricht an jeweils 3 Personen weiter.
Es kommen also 243 Personen dazu.
Damit haben 363 Personen Kenntnis über die Nachricht.

x=3
n=5

Die Formel
für n=1: y = x

für n=2: y = x+x^2

für n=3: y = x+x^2+x^3

für n=4: y = x+x^2+x^3+x^4

Doch wie sähe die Formel aus, wenn ich n als Variable in die Formel einfließen lassen möchte?

Mit Dank und Gruß
Daniel
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Danielo123
Diese 3 geben die Nachricht an jeweils weitere 3 Personen weiter.
Es kommen also 9 Personen dazu.
Damit haben 12 Personen Kenntnis über die Nachricht.

Da hast du den allerersten vergessen, denn es sind jetzt bereits 13. Den (Folge-)Fehler machst du dann auch bei den weiteren Stufen.

Wenn du den ersten aber partout nicht mitählen willst, dann musst du doch mYthos' Formel nur geringfügig anpassen, d.h. einfach 1 abziehen. Augenzwinkern
Danielo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist korrekt.
Seine und meine Reihen sind tatsächlich identisch.

Doch wo bleibt in seiner Formel die variable Größe x - also die Zahl derjenigen, an die die Nachricht jeweils weitergegeben wird?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu solltest du mal die letzte Frage in seinem Beitrag beantworten.
 
 
Danielo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wie man eine solche Reihe nennt.
Und ich weiß leider auch nicht, wie seine Formel zustande kommt.
Ich hatte Mühe, sukzessive eine eigene kleine zu entwickeln...
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder seid ihr in der Schule noch nicht so weit, oder du hast es schon wieder vergessen: Es geht hier um eine Geometrische Reihe, oder um genau zu sein, um deren Partialsummen.
Danielo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin 64, mein Abi liegt ein paar Jahre zurück. Und so ist manches Wissen verloren gegangen. Deshalb bin ich nun auf Hilfe angewiesen.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das mit den "alten Formelsammlungen" habe ich erst später gelesen. Big Laugh

Aber in denen müsste das auch drinstehen, jetzt hast du ja das Stichwort.
Danielo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Die alte Formelsammlung erklärt mir zwar die Herleitung der Formel nicht - doch inzwischen gibt's ja das Internet.
Und hier hilft mir das Stichwort 'geometrische Reihe' weiter.

Vielen Dank!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie schon so oft zu beobachten, können die Leute nicht richtig suchen, oder?
Du hast nicht effizient genug gesucht. Es gibt zahlreiche Suchergebnisse.
Die Herleitung steht z.B.

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrisch...e_Partialsummen

mY+
Danielo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hätte ich das Stichwort 'geometrische Reihe' gewusst, wäre ich weiter gekommen...

Inzwischen habe ich auch die Ableitung der Formel und die Formel gefunden.
http://www.michael-holzapfel.de/themen/g...e/geo_Reihe.htm

Sie unterscheidet sich jedoch von der Deines Links:

Einmal steht im Zähler "1-q^n)", das andere mal "1-q^(n-1)"

In beiden Fällen führt es mich nicht zum richtigen Ergebnis, wenn ich z.B. einsetze:

a=1
q=3
n=4

Rechnung 1:
s0= 1-3^4/1-3

s0= 243/2 = 121,5

Rechnung 2:
s0= 1-3^3/1-3

s0= 81/2 = 40,5

Mir ist schon klar, dass der Fehler nicht in den Formeln zu finden ist, sondern in meinem begrenzten Durchblick. Nur wo ist mein Gedankenfehler?

Vielen Dank für den Wink mit dem Zaunpfahl!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel heisst exakt



wobei das erste Glied der Reihe und n die Anzahl der Glieder ist.

Das n-te Glied ist demgemäß

Dabei beginnt die Reihe mit , sozusagen ist die "nullte" Potenz des Quotienten mit eingeschlossen. Beginnt die Reihe mit , so ist eben die Anzahl der Glieder um 1 weniger ...
____________________

Wenn q < 1 ist, stellt man bisweilen die Formel gerne um, zu



Bei der unendlichen geometrischen Reihe kann so auch deren Grenzwert leicht ermittelt werden.

In deinem Beispiel

a=1
q=3
n=4

ist also

und auch

Was will man mehr?

mY+
Danielo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen herzlichen Dank!
Da hast Du wirklich viel Zeit investiert, um es mir verständlich zu machen.

Mit herzlichem Gruß aus Berlin
Daniel
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