Lebesgue-Maß / Borel-Menge

17.08.2011, 21:11

mathinitus

Lebesgue-Maß / Borel-Menge

Das Lebesgue-Maß ist ja auf der vervollständigten Borel-Algebra definiert. Das heißt, die zugrunde liegende sigma-Algebra ist eine verfeinerte Borel-Algebra. Betrachte ich nun Funktionen und will deren Lebesgue-Messbarkeit prüfen, dann reicht es ja diesmal nicht die Urbilder eines erzeugenden Systems der Borel-Algebra zu betrachten, da diese ja noch nicht die gewünschte Algebra erzeugen. Insbesondere wäre die Prüfung aller offenen Mengen doch zu wenig, oder?
Wie geht man dann vor, wenn man zu zeigen hat, dass eine Funktion Lebesgue-messbar ist?

18.08.2011, 08:21

mathinitus

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Das weiß hier keiner?

Das sind doch die Basics, da müssten doch alle Bescheid wissen Wink

18.08.2011, 17:34

gonnabphd

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Hi,

Lebesgue-messbarkeit einer Funktion bedeutet: Lebesgue-Borel-Messbarkeit.

Das heisst Urbilder von Borelmengen müssen Lebesguemengen sein, damit eine Funktion Lebesgue-messbar ist.

Wir hatten hier einmal etwas relevantes.

Gruss Wink

18.08.2011, 18:04

mathinitus

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Zitat:

Original von gonnabphd
Hi,

Lebesgue-messbarkeit einer Funktion bedeutet: Lebesgue-Borel-Messbarkeit.

Das heisst Urbilder von Borelmengen müssen Lebesguemengen sein, damit eine Funktion Lebesgue-messbar ist.

Wir hatten hier einmal etwas relevantes.

Gruss Wink

Danke für den Thread. Noch einmal zum Verständnis, von dem, was da abgeht:

g ist stetig, damit wissen wir, g ist Lebesgue-Borel-messbar und Borel-Borel-messbar.
h soll messbar sein, damit ist nun wohl Lebesgue-Borel-messbar gemeint?

$\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ soll nun nicht Lebesgue-Borel-messbar sein?

19.08.2011, 00:55

gonnabphd

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Genau. Im Kontrast dazu, dass $\begin{eqnarray*} g\circ h \end{eqnarray*}$ unter diesen Umständen Lebesgue-messbar ist.

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Lebesgue-Maß / Borel-Menge

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