Das Peanosche Induktionsaxiom |
| 18.08.2011, 01:13 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Peanosche Induktionsaxiom
Nachdem ich hier bislang immer als "Helfer" tätig war, hab ich jetzt auch selbst mal eine Frage. Kurz gesagt ist mir nicht ganz klar, wieso man das Induktionsaxiom benötigt, um die natürlichen Zahlen zu definieren. Die Axiome zur Definition der Menge N der natürlichen Zahlen lauten ja: 1. Das Element "1" ist eine natürliche Zahl. (zunächst nur als Symbol ohne besondere Bedeutung) 2. Jede natürliche Zahl n hat einen eindeutig festgelegten Nachfolger, der mit n' bezeichnet wird und ebenfalls eine natürliche Zahl ist. 3. Keine natürliche Zahl hat 1 als Nachfolger. 4. Verschiedene natürliche Zahlen haben stets verschiedene Nachfolger 5. (Induktionsaxiom): Jede Menge M, die die beiden folgenden Eigenschaften hat, enthält alle natürlichen Zahlen: i) M enthält die 1 ii) Für jede natürliche Zahl, die in M liegt, liegt auch deren Nachfolger in M. So weit, so gut. Jetzt würde mich interessieren, welche Mengen es gibt, die die ersten vier Peano- Axiome erfüllen. Ich würde nämlich die natürlichen Zahlen folgendermaßen bereits aus den ersten 4 Axiomen eindeutig konstruieren: - 1 ist eine natürliche Zahl: 1€N - 1 hat einen Nachfolger, der nicht gleich 1 ist. Ich definiere: 2 := 1'€N - 2 hat einen Nachfolger, der weder 2 noch 1 ist. Ich definiere 3 := 2'€N - 3 hat einen Nachfolger, der weder 3 noch 2 noch 1 ist. Ich definiere 4 := 3'€N usw. So komme ich eindeutig auf N={1,2,3,4,...} Mein Denkfehler muss wohl bei der Definition der Nachfolger liegen. Mich verwirrt, dass die Peano-Axiome die Nachfolger-Funktion n --> n' nicht exakt definieren. Die ersten vier Peano-Axiome legen aber meiner (falschen?) Meinung nach eindeutig fest, dass N={1, 1', (1')', ((1')')',...} EDIT: Jetzt grad beim Schreiben fällt's mir auf... die ersten vier Axiome legen ja nur fest, dass {1, 1', (1')', ((1')')',...} eine Teilmenge von N ist... dann ergibt das 5. Axiom natürlich einen Sinn, denn es stellt sicher, dass nicht noch weitere Elemente hinzukommen können. Nach den ersten vier Axiomen könnte zum Beispiel auch als Menge der natürlichen Zahlen gelten, wenn A' := B und B' :=A gesetzt wird. Hm OK, damit hab ich mir die Frage eigentlich schon selber beantwortet. Trotzdem bitte ich euch noch um Bestätigung oder Korrektur
Danke und viele Grüße @ all Dustin |
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| 18.08.2011, 02:10 | Grouser | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das hast du richtig geschlussfolgert. Das fünfte Axiom stellt sicher, dass eine so konstruierte Menge auch wirklich alle natürlichen Zahlen enthält. |
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| 19.08.2011, 16:34 | Dustin B | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke sehr
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