echte Klassen

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flofi Auf diesen Beitrag antworten »
echte Klassen
Meine Frage:
Mir ist der Klassenbegriff noch nicht klar.
Besonders bei den echten Klassen hapert es:
Als echte Klasse wird doch z.B. die Klasse aller Ordinalzahlen bezeichnet.
Warum kann ich denn nicht einfach eine Klasse konstruieren, die die Klasse aller Ordinalzahlen enthält?
Wenn ich das könnte, dann wäre die Klasse aller Ordinalzahlen doch keine echte Klasse mehr, sondern eine Menge.

Meine Ideen:
Ich bin Florian, Physikstudent im 1. Semester - nur damit ihr wisst, auf welchem Niveau ich mich bewege (niedrig!). Wollte mich über die Semesterferien ein bisschen in die Mathematik einarbeiten und bin jetzt bei der axiomatischen Mengenlehre angekommen.
Wenn ich das richtig sehe, dann ist das doch in etwa so gelaufen:
Die so ziemlich grundlegensten Begriffe der Mathematik sind Element und Menge. In der naiven Mengenlehre nach Cantor darf man einfach alles als Element einer Menge bezeichnen. Auch die Menge selbst kann Element der Menge sein.
Diese Definition ist aber so unpräzise, dass sich damit Antinomien konstruieren lassen, z.B. die Russelsche.
Also haben sich kluge Köpfe einen neuen Begriff ausgedacht: die Klasse.
Die einzige hilfreiche Definition, die ich für Klassen gefunden habe, ist die auf Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Klasse_(Mengenlehre)#echte_Klassen).
Wenn ich das richtig sehe, dann kann eine Klasse doch eine Zusammenfassung von allem möglichen sein. Aus dem Wiki: "Eine Klasse wird definiert durch eine logische Eigenschaft, die alle Objekte der Klasse erfüllen." Ich sehe nicht, wie eine "logische Eigenschaft" den Begriff der Klasse irgendwie einschränkt.
Ich könnte doch beispielsweise die logische Eigenschaft "Eine Klasse, die die Klasse aller Ordinalzahlen enthält" konstruieren, somit wäre die Klasse aller Ordinalzahlen keine echte Klasse mehr, sondern sogar eine Menge, oder ?

Würde mich über Erläuterungen von Euch wirklich freuen.
Danke !
Flo
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: echte Klassen
Zitat:
Wenn ich das richtig sehe, dann kann eine Klasse doch eine Zusammenfassung von allem möglichen sein. Aus dem Wiki: "Eine Klasse wird definiert durch eine logische Eigenschaft, die alle Objekte der Klasse erfüllen." Ich sehe nicht, wie eine "logische Eigenschaft" den Begriff der Klasse irgendwie einschränkt.

Das ist ja nur eine umgangssprachliche Formulierung.
In den axiomatischen Mengenlehren, die Klassen zulassen, gibt es auch für die Verwendung von Klassen Einschränkungen. Es dürfen echte Klassen nicht Element einer Menge oder einer Klasse sein.
Damit geht deine Konstruktion nicht. Du kannst zwar die Klasse aller Ordinalzahlen bilden. Da dies aber eine echte Klasse ist, darfst du keine Klasse oder Menge bilden, die diese Klasse als Element enthält.
flofi Auf diesen Beitrag antworten »

Woher weiß ich, ob etwas eine echte Klasse ist oder nicht ?

Ich dachte: Eine echte Klasse ist diejenige Klasse, die nicht Element einer anderen Klasse ist.
Woher weiß ich, ob ich eine Klasse noch in eine andere Klasse stecken darf oder nicht ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Echte Klassen sind Klassen, die keine Mengen sind. Welche Mengen man bilden kann, regelt dann im Detail das jeweilige Axiomensystem.
flofi Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Diejenigen Klassen, die nicht in einer weiteren Klasse enthalten sind, nennt man Mengen.

Meine eigentlich Frage ist damit aber noch nicht beantwortet.
Warum kann ich nicht immer eine Klasse konstruieren, die eine andere Klasse enthält ? Was verbietet mir das ? Wie verbietet es mir das ?

Hättest du vielleicht ein Beispiel, wie ein Axiomensystem ausschließt, dass eine Klasse zur Menge gemacht werden kann ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Beim axiomatischen Aufbau einer mathematischen Disziplin darfst du nur das tun, was die Axiome erlauben. Es ist nicht so, dass du alles machen kannst, was nicht explizit verboten ist. Und das gilt auch für die axiomatische Mengenlehre. Du darfst nur solche Mengen bilden, die zu bilden dir die Axiome explizit gestatten.

Du darfst zum Beispiel die leere Menge bilden, weil es ein Axiom gibt, dass es dir gestattet. Du darfst die Vereinigungsmenge zweier Mengen bilden, weil es ein Axiom gibt, dass es dir gestattet. Und wenn es diese Axiome nicht gäbe, dann dürftest du das nicht.

Du solltest dir vielleicht mal die Axiome von ZF oder ZFC ansehen. Zwar gibt es dort keine Klassen, aber der Bereich der zulässigen Mengenbildungen ist in anderen axiomatischen Mengenlehren nicht prinzipiell anders.
 
 
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