Menge der differenzierbaren Funktionen auf [0,1] kompakt?

18.08.2011, 14:32

Ravenlord

Menge der differenzierbaren Funktionen auf [0,1] kompakt?

Hallo,

folgende Aufgabe:

Zitat:

Sei C([0,1]) der Vektorraum der stetigen, reellwertigen Funktionen versehen mit der Supremumsnorm. Ist die Menge K aller differenzierbaren Funktionen auf [0,1] kompakt in C([0,1])?

Es handelt sich hierbei um eine alte Klausuraufgabe. Habe zwar Ideen, aber bin mir noch ziemlich unsicher.

Meine Vermutung ist, dass diese Menge K nicht kompakt ist.

Weil:

Wäre K kompakt, so wäre K abgeschlossen und beschränkt. (Die andere Richtung gilt nicht, weil es nicht der R^n ist).
Dann würde insbesondere gelten:

$\begin{eqnarray*} \exists r>0: K =\{ f \in C([0,1]) | \text{f differenzierbar auf [0,1]}\} \subset \{ f | ||f||_{[0,1]} \leq r \} \end{eqnarray*}$

Aber:
$\begin{eqnarray*} \forall r>0 \exists f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : ||f||_{[0,1]} > r \end{eqnarray*}$ , denn: Wähle f(x) := r+1

Also ist K nicht beschränkt und somit nicht kompakt.

Passt das so? Wo ist der Fehler in meinen Überlegungen, wenn es einen gibt?

Gruß und Danke für jede Hilfe im Voraus!

18.08.2011, 14:39

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig so. Ist diese Menge denn abgeschlossen?

18.08.2011, 15:00

Ravenlord

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schon mal für Deine Antwort!
Ich denke nicht.

Wäre die Menge K abgeschlossen, so enthielte sie alle ihre Häufungspunkte. Insbesonderes bedeutet dies, dass wenn $\begin{eqnarray*} f_n \in K \forall n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n \rightarrow f \end{eqnarray*}$ , dass dann auch $\begin{eqnarray*} f \in K \end{eqnarray*}$ .

Wenn man jetzt als Funktionenfolge folgende wählt:

$\begin{eqnarray*} f_n: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f_n := x^n \end{eqnarray*}$

Jedes $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist auf [0,1] stetig und differenzierbar.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} f_n(x) \rightarrow f(x) := \begin{cases} 0, & x \neq 1 \\ 1, & x=1 \end{cases}, f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Aber f ist in x=1 nicht stetig und somit auch nicht differenzierbar. D.h. f ist nicht in K.

Also haben wir eine Folge gefunden, deren Grenzwert und somit auch deren Häufungspunkt nicht in K liegt. Also dürfte K nicht abgeschlossen sein.

18.08.2011, 15:03

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Gilt wirklich $\begin{eqnarray*} f_n \to f \end{eqnarray*}$ in dem Raum, der uns gegeben ist? Augenzwinkern

18.08.2011, 15:08

Ravenlord

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, ich habe mich etwas unpräzise ausgedrückt. *g*

Ist dieser Raum C([0,1]) denn vollständig? Anscheinend nicht. D.h. ich habe (wenn ich mich nicht vertan hab, was ich nicht ausschließe) eine Folge gefunden, die schon nicht in C([0,1]) konvergiert, also konvergiert sie erst recht nicht in K.

18.08.2011, 15:20

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dieser Raum ist vollständig.

Die von dir angegebene Folge ist aber gar keine Cauchy-Folge, also kann sie auch nichts verletzen, wenn sie nicht konvergiert.

18.08.2011, 15:22

Ravenlord

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss ich mir noch mal was überlegen. *g*
Ist meine Vermutung, dass die Menge nicht abgeschlossen ist, denn richtig?

18.08.2011, 15:23

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Es gibt da einen Satz über den gleichmäßigen Limes differenzierbarer Funktionen...

18.08.2011, 16:06

Ravenlord

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst wohl:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_n: I \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar. $\begin{eqnarray*} f_n \rightarrow f \end{eqnarray*}$ punktweise.
Ist $\begin{eqnarray*} f_n' \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergent, so ist f stetig differenzierbar und es gilt:
$\begin{eqnarray*} f_n' \Rightarrow f' \end{eqnarray*}$ gleichmäßig.

Was mich daran irritiert, ist die gleichmäßige Konvergenz der Ableitung, die gefordert ist. Ich weiß, dass jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall gleichmäßig stetig ist. [0,1] ist kompakt, also sind alle $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ auf [0,1] gleichmäßig stetig und differenzierbar.
Das bedeutet, dass alle $\begin{eqnarray*} f_n ' \end{eqnarray*}$ ebenfalls auf [0,1] gleichmäßig stetig sind.
Anscheinend bedeutet das, dass die $\begin{eqnarray*} f_n' \end{eqnarray*}$ auch gleichmäßig konvergieren, hatten wir aber nicht in der Vorlesung. Habe das auf Wikipedia nachgeschlagen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%...enz#Folgerungen
http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichgradige_Stetigkeit
Hoffe, ich habe mich da nicht vertan, ausschließen möchte ich es nicht.

Das heißt, die Voraussetzungen des Satzes sind erfüllt, f ist stetig differenzierbar.

Daraus kann man dann folgern, dass jede stetig differenzierbare Funktionenfolge gegen eine Funktion konvergiert, die ebenso stetig differenzierbar ist. Also ist K abgeschlossen.

Hat mich jetzt echt beschäftigt. *g* Weiß aber nicht, ob das so passt.
Danke schon mal für deine Hilfe, ist großartig!

18.08.2011, 16:31

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ravenlord
Daraus kann man dann folgern, dass jede stetig differenzierbare Funktionenfolge gegen eine Funktion konvergiert, die ebenso stetig differenzierbar ist. Also ist K abgeschlossen.

Hey, ich kann mich irren, aber ist $\begin{eqnarray*} f_n := \sqrt{(x-\frac12)^2 +\frac1n} \end{eqnarray*}$ , kein Gegenbeispiel?

18.08.2011, 16:58

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist in der Tat ein Gegenbeispiel.

Ich habe bei dem Satz die Vorraussetzungen verwurstelt unglücklich

Neue Frage »

Antworten »

Menge der differenzierbaren Funktionen auf [0,1] kompakt?

Verwandte Themen