Transformationsmatrizen

18.08.2011, 17:11	schatzimoor	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrizen Hi Also ich rechne schon jetzt immer wieder Aufgaben zu Kegelschnitte in Normalenform. Was mir dabei aber immer Probleme bereitet ist folgendes: Beim Erstellen der Transformationsmatrix, um den K-Schnitt aus dem x-Koordinatensystem ins y-K.system zu transformieren. Die Transformationsmatrix $\begin{eqnarray} V = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \end{eqnarray}$ setzt sich ja aus den Eigenvektoren der Matrix A aus der Matrix-Vektor-Schreibweise des Kegelschnitts zusammen. Wenn ich jetzt z.B. die Eigenvektoren $\begin{eqnarray} v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} , v_{2} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} und v_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ habe, und dann det(V) berechne (weil ich wissen will ob ich ne Spiegleung oder Drehung oder beides habe), dann kommt ja je nach Anordnung der Eigenvektoren manchmal -1 oder 1. Aber das ist genau das Problem: Wenn ich jetzt die eigenvektoren anders anordne und ne Drehung rausbekomme (weil det(V) = 1), obwohl das ne Spiegelung und Drehung (det(V) = -1) ist, habe ich ja ne Problem wegen rechts - und linkssystem. Ich habe mir nämlich angewöhnt, dass ich immer die Eigenvektoren auf oder absteigend ordne und dementsprechend die eigenvektoren auch geordnet sind. Aber wie jetzt ich feststellen musste, hatte ich das öfters falsch angeordnet. Gibts da ne Regel??? Weil wenn ich als charakt. Polynom von A = (p-2)(p-3)(p-4) habe kann ja Eigenwert 1 = 2 oder 3 oder 4 sein, das ist ja egal, oder?! Hoffe man kann aus meiner Schilderung halbwegs schlau werden?! Und vielen Dank im voraus!
19.08.2011, 10:25	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrizen Hallo schatzimoor, Du fängst doch mit der Standardbasis an - diese ist ein Rechtssystem. Dann suchst Du Dir eine andere Orthonormalbasis $\begin{eqnarray} \{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray}$ (Reihenfolge egal, aber Du solltest die Vektoren noch normieren!) und untersuchst mittels Determinante deren Orientierung. Ist die Determinante von $\begin{eqnarray} (v_1 v_2 v_3) \end{eqnarray}$ gleich 1, dann hast Du wieder ein Rechtssystem und die Transformation ist demnach eine Drehung. Ist die Determinante -1, so handelt es sich um eine Spiegelung oder Drehspiegelung. In welcher Reihenfolge Du die Vektoren der neuen Basis anordnest, ist dabei egal - Du musst Dich nur einmal festlegen und dann damit leben. Gruß, Reksilat.
19.08.2011, 10:29	schatzimoor	Auf diesen Beitrag antworten »
und was heißt das , wenn ich dann ein linkssystem habe? (det(V) = -1) Dann muss ich ja die Matrix b aus der Matrix-Vektor-Vektorschreibweise mal (-1) nehmen, oder? und dann bei der Zeichnung halt alles um die y-Achse spiegeln? Oder ist das falsch was ich mir da denke?
19.08.2011, 10:43	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du ein Linkssystem hast, dann hast Du eben ein Linkssystem. Von der Rechnung her gesehen, ist das egal. Ich weiß jetzt nicht genau, was b sein soll, aber irgendetwas aufgrund der Orientierung mit -1 zu multiplizieren, halte ich für falsch. Letztlich handelt es sich hier um eine normale Basistransformation. Der Rechenweg sollte dabei unabhängig von der geometrischen Interpretation verlaufen. Wenn Du dann irgendetwas bezüglich des neuen Koordinatensystems aufzeichnen willst, solltest Du das aber als auch als Linkssystem zeichnen (selbst wenn die Orientierung bei einer Quadrik in Normalform egal ist.) Siehe dazu: Rechtssystem
19.08.2011, 11:03	schatzimoor	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss ich einfach weiter rechnen und dann nur alles halt in ein linkssystem einzeichnen, oder? Das heißt, dass mir die det(V) sagt, was vorliegt (Drehung, spiegelung) und dazu noch wie ich das zeichnen soll (links-oder rechtsystem). Beim Rechnen ist dann weiter nichts zu beachten, oder? b ist die Matrix b aus: Kegelschnitt in Normalenform übertragen in M.-V.-Schreibweise: $\begin{eqnarray} \left(\vec{x} , A\vec{x}\right) + \left(\vec{x} , b\right) + c = 0 \end{eqnarray}$
19.08.2011, 11:08	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau.
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