P(A|B) normalverteilt (A fest), dann auch P(B|A) (B fest)?

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Ravvy Auf diesen Beitrag antworten »
P(A|B) normalverteilt (A fest), dann auch P(B|A) (B fest)?
Meine Frage:
Versuche etwas besseres Verständnis bzgl. Gaußverteilungen zu erlangen und könnte etwas Hilfe gebrauchen.

Angenommen man hat ein System und einen Gauß-Verteilten Messfehler, so sollte
P(A|B) für ein festes normalverteilt sein - z.B. wahrer Wert x=100, dann sollte P(A|B) ja N(my=100,sigma=irgendwas) sein.

Meine Frage: ist denn nun auch P(B|A) normalverteilt für ein festes A? Also wenn ich eine Messung bekomme, weiß ich, dass die Wahrscheinlichkeiten für den wahren Wert normalverteilt liegen? Z.B. gemessener Wert y=150, und P(B|A) dann N(my=150,sigma=irgendwasanderes)?

Meine Ideen:
Meine Überlegungen gehen in die Richtung, dass das Bayes-Theorem bereits einen großen Schritt in die Richtung liefert.
Immerhin ist ja P(B|A)=P(A|B)*P(B)/P(A).
Da A ja fest ist kann man P(A) als konstant ansehen. Dass es eine gültige Dichte ist, sollte ja gewährleistet sein, also reicht es wohl zu überlegen ob P(A|B)*P(B) eine (ggf. unnormalisierte) Normalverteilung handelt.

Da bin ich mir nun unsicher:
Ich könnte mir vorstellen, dass weil P(A|B)=P(A,B)*P(B) für festes B (und somit konstantes P(B)) eine Normalverteilung ist und daraus folgen sollte, dass P(A,B) eine (ggf. unnormalisierte) Normalverteilung ist.
Somit wäre dann P(A|B)*P(B)=P(A,B) auch eine unnormalisierte Normalverteilung.

Macht das Sinn oder hab ich mir da Blödsinn überlegt?
Vielen Dank schonmal (hoffe, dass ich im Bereich Hochschule richtig bin mit der Frage)
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ravvy
Angenommen man hat ein System und einen Gauß-Verteilten Messfehler, so sollte
P(A|B) für ein festes normalverteilt sein - z.B. wahrer Wert x=100, dann sollte P(A|B) ja N(my=100,sigma=irgendwas) sein.

Du wirfst munter mit Symbolen wie A,B rum, ohne sie zu erklären: Sind beides Ereignisse, dann sind P(A|B) und P(B|A) Zahlen, die sind nicht irgendwie "verteilt", sondern fest. Also ist anzunehmen, dass mindestens eine der beiden eine Zufallsgröße sein soll. Sind es aber Zufallsgrößen, dann ist P(B|A)=P(A|B)*P(B)/P(A) so nicht anwendbar.

Und wie ist dieses x mit den A,B verknüpft? Ich schlage vor, du bringst erstmal Ordnung in deine Fragestellung, vorher lohnt es sich gar nicht, darüber zu diskutieren - der Grund ist viel zu schwammig, weil man ständig einsinkt (ich höre schon ein ständiges "Nein, ich meine es anders..."). unglücklich
Ravvy Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die Antwort.

Sorry erstmal - dachte einfach A und B sind Ereignisse und ich könnte damit jonglieren und dachte x und y nur als beispielhafte Erklärung. Scheint aber, als hätte ich ein paar Bälle fallen gelassen, denn nach ausführlichem Schreiben sehe ich, dass Lösungeversuch Müll ist :/

Aber hier das Problem einfach mal für einen beispielhaften Wahrscheinlichkeitsraum.
Also haben wir einen Wahrscheinlichkeitsraum bei dem gilt . Nennen wir diese Tupel aus einfach mal (X,Y). Wir haben einfach ein variables System (mit einem beliebigen Verhalten), das wir messen. Der wahre Wert des Systems sei hier durch 'X' und der gemessene Wert durch 'Y' repräsentiert. sei die Potenzmenge über . Das bildet (wie ein braves Wahrscheinlichkeitsmaß) auf ab.

Nun sei das Messrauschen unseres Systems normalverteilt. Wenn wir also für ein festes X nehmen (also den Zustand unseres Systems kennen) und Y varieren lassen erhalten wir eine Normalverteilung.
Sei (fest!). Dann gilt also N sei hier eine Normalverteilung mit Mittelwert x und Standardabweichung (wobei hier nicht von Relevanz ist, sondern nur, dass es ein solches gibt).

Die Frage ist nun, gilt dann auch zwangsläufig für (fest!) gilt, dass
Also anschaulich: Haben wir einen Messwert, sind die Wahrscheinlichkeiten des wahren Zustands nun auch normalverteilt?

Das hab ich versucht zu beweisen. Mein gescheiterter Lösungsansatz ging:
ist normalverteilt. Ist normalverteilt?
Bayes liefert uns da eine Konstante ist gilt
Andererseits gilt auch
und dank schlechter Darstellung sah es aus als wäre da der Beweis vollbracht.
Bei einfach A und B sah es halt nun aus als wäre beides (mit einer Konstante multipliziert) .
In Wirklichkeit ist es ja und , die ja jetzt zumindest nicht trivialer Weise einer Verteilung des selben Typs unterliegen müssen.


Da muss ich mir wohl einen komplett anderen Ansatz suchen - ich schließe auch nicht aus, dass es am Ende gar nicht so ist und man ein Gegenbeispiel konstruieren könnte.

Hoffe ich konnte mich diesmal klarer Ausdrücken und schonmal danke für die hilfreiche Antwort, die mit schon etwas geholfen hat mein Verständnis zu vertiefen (und meinen Fehler zu finden...)
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