Teilbarkeit durch 11 und 7

Neue Frage »

Himbeerstrauch Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit durch 11 und 7
Meine Frage:
Beweisen oder widerlegen Sie:

77 teilt 3^60 + 3^24 - 2

Meine Ideen:
Ich habe das bisher in 2 verschiedene Summanden zerlegt.
1. in 3^24 - 1
2. in 3^60 - 1

durch ausklammern, Anwendung der 3. binomischen Formel etc. komm ich auf:

(3^3-1)(3^3+1)(3^6+1)(3^12+1) + (3^15-1)(3^15+1)(3^30+1)

so, jetzt weiss ich, dass wenn einer der beiden Summanden durch 77 teilbar ist, der andere es auch sein muss, damit die Summe wiederum durch 77 teilbar ist.
Der rechte Summand ist durch 7 und 11 (also durch 77) teilbar. Die linke Seite ist allerdings nicht durch 11 teilbar. Herausbekommen habe ich das durch meinen Taschenrechner, was sicherlich nicht die elegante Art ist. Könnt ihr mir hier ein Verfahren nennen, das eindeutig aufzeigt, dass 77 die komplette Zahl eben nicht teilt?

Helfen da vlt noch die Restklassen mod3? (enden auf 1 oder 2)
Was ich sonst noch weiss: Die rechte Seite ist logischerweise nicht durch 3 teilbar, sie endet auf die Ziffer 0 und ist damit durch 5 teilbar
Danke schonmal fürs helfen
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem kleinen Fermat ist .

Also ist

Wenn also der ganze Term durch 11 teilbar sein soll, muss gelten.

Damit ist 24 ein Vielfaches der Ordnung von 3 in , also ist die Ordnung von 3 entweder 1 oder 2. Beides ist aber offensichtlich falsch.
Himbeerstrauch Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank für deine schnelle Antwort. Also ich bin dadurch dann sehr schnell auf die Lösung gekommen, heisst, ich habe deine Antwort nachvollziehen können. Den letzten Abschnitt hab ich allerdings nicht verstanden.

Sagst du mir damit, dass die Potenz 3^24 nicht auf 1 mod 11 endet? (sondern auf 4 mod 11)
deshalb ergibt sich für den gesamten Term ein Rest von 3 bei einer Division durch 11, weshalb er nicht teilbar sein kann...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »