Schranken und Beweise

19.08.2011, 16:32

Ascareth

Schranken und Beweise

Hallo,

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{3n+1}{n} \quad \end{eqnarray*}$ soll eine obere, und eine untere Schranken aufweisen.

Die Schankenbedingungen sind ja:

$\begin{eqnarray*} s \leq a_{n} \leq S \end{eqnarray*}$

1. Für n=1 würde sich also 4 ergeben. Für alle weiteren n gilt dann $\begin{eqnarray*} a_{n+1} < a_{n} \end{eqnarray*}$

Fängt man da mit 1 oder 0 an?

2. Gibt es eine ähnliche Verfahrenstechnik für die Ermittlung der Schranken, wie es man es am Beispiel zur Ermittlung des Monotonieverhaltens sehen kann?

Für die Ermittlung des Monotonieverhaltens gilt ja:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_{n} \end{eqnarray*}$ monoton steigend
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} > a_{n} \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq a_{n} \end{eqnarray*}$ monoton fallend
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} < a_{n} \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend

Nun läßt sich ja hier einsetzen (Das die Folge fallend sein wird, kann man erahnen. Ich nehme jetzt erstmal eine monton fallende Folge an):

$\begin{eqnarray*} \frac{3n(n+1)+1}{n+1} \leq \frac{3n+1}{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{n^2(3+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} \leq \frac{n(3+\frac{1}{n})}{n} \end{eqnarray*}$

dann n kürzen und dort wo n im Nenner steht Nullfolgen einsetzen.

$\begin{eqnarray*} 0 < 3 \end{eqnarray*}$

heißt also, dass es eine streng monoton fallende Folge sein müßte, richtig?

Gibt es ein solches Verfahren auch für die Bestimmung der Schranken?

Ich muss dazu sagen, dass ich mir mit dem Ergebnis des Monotonieverhaltens nicht sicher bin. Man darf glaube ich im Nenner nicht einfach n² ausklammern oder? Es müßte meine ich n ausgeklammert werden, was zur Folge hätte, dass dann

$\begin{eqnarray*} 3 \leq 3 \end{eqnarray*}$ herauskommen müßte. Also doch nicht streng monoton fallend?

Gruß, Asca

19.08.2011, 16:45

Mulder

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RE: Schranken und Beweise

Zitat:

Original von Ascareth
Fängt man da mit 1 oder 0 an?

Man beginnt eigentlich immer bei n=1, meistens definiert man eine Folge ja als eine Abbildung mit den natürlichen Zahlen als "Definitionsmenge". Aber ob das wirklich ausnahmelos einheitlich geregelt wird... ich weiß es nicht. n=0 würde hier aber natürlich in unserem Fall wenig Sinn machen (warum?). Augenzwinkern

Wir haben es hier mit einer streng monoton fallenden Folge zu tun, ja. Ausklammern darfst du, was auch immer du willst. Ob es weiterhilft, ist dann halt eine andere Frage. Hier hätte ich es einfacher gefunden, nur eben die Folge so umzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{3n+1}{n} = 3 + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Dann sieht man ja eigentlich alles sofort, oder? Augenzwinkern

Großartig ausklammern und kürzen muss man dann gar nicht. Der Vergleich zwischen a_n und a_(n+1) wird dann auch viel einfacher.

Zitat:

Original von Ascareth
Gibt es ein solches Verfahren auch für die Bestimmung der Schranken?

Eine ganz sture Vorgehensweise? Nein, würde ich nicht sagen. Im Grunde muss man meistens nur hingucken, dann sieht man es und dann kann man es kurz zeigen.

Zitat:

Original von Ascareth
$\begin{eqnarray*} \frac{3n(n+1)+1}{n+1} \leq \frac{3n+1}{n} \end{eqnarray*}$

Wo kommen da überhaupt am Ende die n² im Zähler her? Du hättest doch bei dem (n+1)-ten Folgenglied aus den 3n im Zähler erstmal 3(n+1) machen müssen, du machst da aber einfach 3n(n+1) daraus, warum?

19.08.2011, 17:01

Ascareth

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RE: Schranken und Beweise

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Ascareth
$\begin{eqnarray*} \frac{3n(n+1)+1}{n+1} \leq \frac{3n+1}{n} \end{eqnarray*}$

Stimmt! Das ist falsch von meiner Seite. Es muss natürlich heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{3(n+1)+1}{n+1} \leq \frac{3n +1}{n} \end{eqnarray*}$

Wenn dann am Ende $\begin{eqnarray*} 3 \leq 3 \end{eqnarray*}$

heraus kommt, ist die Folge doch aber nicht streng monoton fallend, sondern monoton fallend oder?

Frage wäre jetzt natürlich noch: Wie begründe ich ein solches Ergebnis?

19.08.2011, 17:05

Pascal95

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Wenn das nächste Folgeglied kleinergleich ist, so ist die Folge monotn fallend.
Falls das nächste Folgenglied aber immer echt kleiner ist, nennt man die Folge sogar streng monoton fallend.

Edit:
Da $\begin{eqnarray*} 3\leq 3 \end{eqnarray*}$ eine wahre Aussage ist, wäre die Behauptung der Monotonie auch richtig (wenn man sich nur an Äquivalenzumformungen bedient hat).

Schau doch mal, ob sie wirklich fällt.

Edit: Mulder ist ja jetzt wieder online, aber mach es doch bitte nicht mit der langen Schreibweise sondern verwende den Tipp von Mulder (n+1/3...)

19.08.2011, 17:33

Ascareth

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Vielleicht noch einmal so:

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{3n+1}{n}=3+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} s \leq a_{n} \leq S \quad | \quad s;S \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \quad \Rightarrow n_{0} = 1 \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} a_{1}=4; a_{\infty}=3 \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} 3 \leq a_{n} \leq 4 \end{eqnarray*}$

Geht das vielleicht als Begründung?

19.08.2011, 17:40

Pascal95

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$\begin{eqnarray*} a_\infty \end{eqnarray*}$ ist hier wohl als $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}{a_n} \end{eqnarray*}$ zu lesen.

Wenn du aber nur zwei Folgenglieder vergleichst (über die kleiner/größer/kleinergleich/größergleich-Relation) kannst du über Monotonie bestimmen.

$\begin{eqnarray*} a_n\ \text{ist streng monoton fallend}\ \Leftrightarrow\ \forall n\in\mathbb N:~ a_{n+1}<a_n \ \text{.} \end{eqnarray*}$

Analog für die anderen Begriffe.

19.08.2011, 17:43

Pascal95

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Und jetzt zur Folge: $\begin{eqnarray*} a_n\ :=\ n+\frac13 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}\ &=&\ n+1+\frac13 \end{eqnarray*}$

Und dann ganz einfach:

Wie verhalten sich:
$\begin{eqnarray*} n+1+\frac13\ \text ?\ n+\frac13 \end{eqnarray*}$
?

19.08.2011, 19:20

Ascareth

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wieso jetzt eigentlich $\begin{eqnarray*} a_{n}=n + \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

oder meinst du: $\begin{eqnarray*} a_{n}=3 + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

19.08.2011, 19:25

Mulder

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Das war natürlich ein Tippfehler von Pascal95.

19.08.2011, 20:33

Pascal95

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Ja, das war ein Tippfehler von mir, sorry.

Die Folge heißt natürlich $\begin{eqnarray*} a_{n}=3 + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Dann kannst du ja $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ vergleichen.

19.08.2011, 21:25

Ascareth

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Ja ok. Ich war einen Moment lang iritiert.

Wo ist jetzt eigentlich der Unterschied zwischen dem Grenzwert und der Schranke für n gegen unendlich?

20.08.2011, 14:42

Ascareth

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Nochmal eine Frage hierzu:

Ist das richtig wenn man diese Folge als monoton fallend bezeichnet? Sie ist halt nicht streng monoton fallend wies aussieht.

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{n-1000}{n+300} \end{eqnarray*}$

Bedingung für monoton fallend:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq a_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n((1+\frac{1}{n})-\frac{1000}{n})}{n((1+\frac{1}{n})+\frac{300}{n})} \leq \frac{n(1-\frac{1000}{n})}{n(1+\frac{300}{n})} \Rightarrow 1 \leq 1 \end{eqnarray*}$

27.08.2011, 17:48

Ascareth

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Das war wohl ein ziemlicher Unsinn smile

Inzwischen habe ich gelernt wie es geht.

Also für den Nachweis der Monotonie für die Folge: $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{n-1000}{n-300} \end{eqnarray*}$ gilt:

Annahme: Die Folge ist streng monoton steigend, also: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} > a_{n} \end{eqnarray*}$

Beweis:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1 -1000}{n+1+300} > \frac{n-1000}{n+300} \Leftrightarrow \frac{n-999}{n+301} > \frac{n-1000}{n+300} \Leftrightarrow (n-999)(n+300) > (n-1000)(n+301) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2+300n-999n-299700 > n^2+301n-1000n-301000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2-699n-299700 > n^2-699n-301000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -299700 > -301000 \end{eqnarray*}$

Es stimmt also, dass die Folge streng monoton steigend sein muss.

Gruß, IceRage

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