2 Aussagen zu Potenzreihen (wahr/falsch) |
| 19.08.2011, 17:16 | re4ctor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| 2 Aussagen zu Potenzreihen (wahr/falsch) 1.) Wenn eine Potenzreihe "Summenzeichen" a(n) * x^n für x = 1 konvergiert, dann auch für x = -1 (a sei eine beliebige Folge, abhängig von n) Ich denke, das ist wahr. Denn: Wenn die Reihe konvergiert, dann muss a(n) eine Nullfolge sein (das x^1 fällt quasi weg, da es immer 1 ist). Wenn man jetzt x = -1 nimmt, dann hat man eine alternierende Nullfolge und nach dem Leibniz'schen Kriterium ist die Reihe konvergent. (Richtig so?) 2.) Wenn eine Potenzreihe "Summenzeichen" a(n) * x^n für x = 1 konvergiert, dann auch für x = -1/2 Auch hier muss es sich nach Vorraussetzung um eine Nullfolge bei a(n) handeln. Und auch hier hat man wieder ein Produkt aus "Nullfolge * wechselndes Vorzeichen", also auch konvergent für x = -1/2? Das kommt mir nämlich bisschen zu einfach vor, oder gibts da nen Haken? danke schonmal |
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| 19.08.2011, 18:45 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2) ist richtig, 1) aber falsch - Gegenbeispiel: Deine Begründung für die Richtigkeit von 1) ist fehlerhaft. Anscheinend hast du da a(n)>0 im Hinterkopf, was hier aber nicht vorausgesetzt wird. 
P.S.: Darüber hinaus ist noch anzumerken, dass Leibniz für die Konvergenz von mehr fordert als nur die Nullfolgeneigenschaft der positiven Folge - sie muss zudem auch noch monoton fallend sein. |
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| 20.08.2011, 10:52 | Jeremy124 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beide Fragen kann man leicht mit dem Satz von Cauchy-Hadamard begründen. Konvergenzradius, Konvergenzkreis sagen dir doch bestimmt was 
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| 20.08.2011, 11:29 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tatsächlich? Auch die erste?
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| 20.08.2011, 11:44 | Jeremy124 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, denn Cauchy Hadamard macht keine Aussage über den Rand des Kreises! |
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| 20.08.2011, 11:52 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist 1) denn nun richtig oder falsch? |
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| 20.08.2011, 11:54 | Jeremy124 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Konkret z.B. so Sei der Konvergenzradius, dann wissen wir ja, dass 1 \le R. Im Fall ist die Sache klar, im Fall ist nicht klar, ob die Reihe auch für konvergiert. Es ist wohlbekannt, dass alles passieren kann. Man kann also allgemein keine Aussage machen. Das Gegenbeispiel ist super und untermauert die Sache 
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| 20.08.2011, 11:56 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann finde ich deine Aussage extrem irritierend, dass die Antwort auf beide Fragen "leicht" aus Cauchy-Hadamard gefolgert werden können. Das trifft nämlich nur auf 2) zu. 
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