Basis des Faktorraums

19.08.2011, 19:24

steviehawk

Basis des Faktorraums

Meine Frage:
Hallo Leute ich habe ein paar Fragen zur folgenden schönen Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} p = s^2 - s - 2 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} q = s^3 - s^2 - s - 1 \end{eqnarray*}$

der Unterraum U von $\begin{eqnarray*} U < \mathbb R_{[s]} \end{eqnarray*}$ ist: $\begin{eqnarray*} U = p\mathbb R_{[s]} \end{eqnarray*}$ , das heisst U enthält also nur Polynome, die mindestens Grad 2 haben, was durch die Multiplikation mit p zustande kommt.

So es war nun die Aufgabe eine Basis des Faktorraums $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Eine Basis von U ist gegeben durch: $\begin{eqnarray*} B_U = (s^2,...,s^n) \end{eqnarray*}$ dann ergänzt $\begin{eqnarray*} E = (1,s) \end{eqnarray*}$ die Basis von U zu einer Basis von V und dann ist die Basis von $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ gegeben durch: $\begin{eqnarray*} B_{V/U} = ([1];[s]) \end{eqnarray*}$

Um mein Verständnis etwas zu bessern habe ich nur versucht ein Element $\begin{eqnarray*} [v] \end{eqnarray*}$ aus dem Faktorraum $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ mal mit dieser Basis darzustellen.

Also: $\begin{eqnarray*} [v] \in V/U \end{eqnarray*}$ kann man doch schreiben: $\begin{eqnarray*} [v] = v + U \end{eqnarray*}$ wobei v höchstens Grad n haben kann, die Elemente aus U höchstens Grad 2

Irgendwie muss ja gelten: $\begin{eqnarray*} a[1] + b[s] = [v] \end{eqnarray*}$ wegen der Basis; mit den Rechenregeln folgt:

$\begin{eqnarray*} a[1] + b[s] = [a1] + [bs] = [a1+bs] = (a1+bs) + U \end{eqnarray*}$

dass muss doch dann irgendwie das Gleiche geben wie $\begin{eqnarray*} v + U \end{eqnarray*}$ , dann muss doch $\begin{eqnarray*} (a1+bs) = v \end{eqnarray*}$ gelten, aber v kann ja viel höhere Grade haben wie ich durch $\begin{eqnarray*} a1+bs \end{eqnarray*}$ erreichen kann...

Kann mir jemand helfen??? Wie kann ich denn ein Element aus dem Faktorraum dann mit dieser Basis darstellen?

Meine Ideen:
Ich Hoffe es macht sich jemand die Mühe!!!

Vielen Danke jedenfalls!

Mir fällt gerade beim durchlesen die Lösung ein, aber ich will wissen ob es stimmt, ausserdem hat es so lange gedauert zu schreiben:

Also, wenn $\begin{eqnarray*} (a1 + bs) + U = v + U \end{eqnarray*}$ ist, dann muss folgen: $\begin{eqnarray*} v - (a1+bs) \in U \end{eqnarray*}$ und das ist ja wohl tatsächlich der Fall, wenn ich mir mein a und b passend für v wähle, dann fallen die Anteile 1 und s weg, so dass nur noch Grad größer 2 über bleibt, also ist das ein Element aus U... Dann ist das also wirklich eine Basis!

Zum Abschluss: Wird eine Basis von einem Faktorraum immer so bestimmt, dass man

1) Basis von V und U bestimmen

2) Ergänzung von U zu V bestimmen

3) die Ergänzung ist die Basis des Faktorraums, eben als Äquivalenzklasse jeweils!

Danke!!!

19.08.2011, 20:13

zweiundvierzig

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RE: Basis des Faktorraums
Deine Überlegung zum Schluss stimmt.

Zitat:

Original von steviehawk

Zum Abschluss: Wird eine Basis von einem Faktorraum immer so bestimmt, dass man

1) Basis von V und U bestimmen

2) Ergänzung von U zu V bestimmen

3) die Ergänzung ist die Basis des Faktorraums, eben als Äquivalenzklasse jeweils!

Ja, auch das ist richtig, für endlichdimensionale Räume zumindest. Der Rangsatz gibt Dir überdies auch genau an, welche Dimension der Faktorraum haben muss.

19.08.2011, 20:35

steviehawk

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RE: Basis des Faktorraums
Was für ein Rangsatz??

Danke

19.08.2011, 20:59

zweiundvierzig

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Rangsatz

29.08.2011, 18:06

steviehawk

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RE: Basis des Faktorraums
Mir ist da was wichtiges aufgefallen!!!!

Zitat 1 Beitrag:

der Unterraum U von $\begin{eqnarray*} U < \mathbb R_{[s]} \end{eqnarray*}$ ist: $\begin{eqnarray*} U = p\mathbb R_{[s]} \end{eqnarray*}$ , das heisst U enthält also nur Polynome, die mindestens Grad 2 haben, was durch die Multiplikation mit p zustande kommt.

Mir ist das nicht mehr ganz klar, denn sein $\begin{eqnarray*} q = \alpha_ns^n+...+\alpha_1s + \alpha_0 \in \mathbb R_{[s]} \end{eqnarray*}$ , so wenn ich da jetzt mein p drauf multipliziere, dann bekomme ich doch:

$\begin{eqnarray*} q \cdot p = (\alpha_ns^n+...+\alpha_1s + \alpha_0) \cdot (s^2 - s - 2) \end{eqnarray*}$ , aber das ist ja:

$\begin{eqnarray*} s^2(\alpha_ns^n+...+\alpha_1s + \alpha_0) - s(\alpha_ns^n+...+\alpha_1s + \alpha_0) - 2(\alpha_ns^n+...+\alpha_1s + \alpha_0) \end{eqnarray*}$ aber dann entstehen doch Polynome, die auch Anteile mit $\begin{eqnarray*} s^1;s; \alpha \end{eqnarray*}$ enthalten!

Wo ist jetzt der Denkfehler???

Weil so könnte ich auch nicht sagen, dass die Basis von U durch $\begin{eqnarray*} s^2;....;s^n \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Vielen Dank

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