Parameterabhaengige Integrale

19.08.2011, 19:38	Pascal90	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterabhaengige Integrale Hier ist die Aufgabe http://uploadpic.org/v.php?img=wVMePmQjxr Ich habe aber noch 2 Fragen zu der Loesung 1. Was wird da genau mit den Grenzen gemacht? Bzw welche berechnung erfolg da. (Werde aus der Loesung nicht schlau) Also bei [0, 1] -> [0,1] y->0 2. Wie kommen die von g'(y) auf g''(y) Also 2yF(y) ergibt mit der Produktregel 2F(y) + 2yF'(y) ,aber nicht F(y) + 2F(y) + 2yF'(y) wobei ich aber uch net weis wie ich mit dem F(x)dx von g' umgehen soll.
20.08.2011, 11:37	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zu Frage 1): orientiere Dich stur an der gegebenen Formel und setzte die Ausdrücke unter der Beachtung, dass gilt: $\begin{eqnarray} \psi(y) = y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi (y) = 0 \end{eqnarray}$ zu Frage 2): es ist: $\begin{eqnarray} g'(y) = s(y) + r(y) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s(y) = \int_0^y \! F(x) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r(y) = 2yF(y) \end{eqnarray*}$ Bei Deiner Lösung hast Du "s'(y)" vergessen- dieser Ausdruck ist nicht "0". Gruß Christian
20.08.2011, 23:07	Pascal90	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage hab ich noch bezueglich der Ableitung $\begin{eqnarray} s(y) = \int_0^y \! F(x) \, dx \end{eqnarray}$ Nach der Formel hab ich dann ja folgendes $\begin{eqnarray} s(y) = \int_0^y \! \frac{d}{dy} [F(x)] \, dx + f(y,y)1- f(0,y)0 \end{eqnarray}$ Aus $\begin{eqnarray} f(y,y)1- f(0,y)0 \end{eqnarray}$ wird dann ja $\begin{eqnarray} F(y) - F(0)0 \end{eqnarray}$ und somit dann $\begin{eqnarray} F(y) \end{eqnarray}$ Aber was passiert im forderem Teil, der muss ja 0 werden damit ich auf das Ergebniss in der Loesung komme, aber mir ist noch nicht ganz klar warum. Ich weis einfach nicht genau wie ich mit dem F(x) umgehen soll, den beim hinterem teil (r(y) Teil) ist die Ableitung der Funktion ja auch Teilweise F' warum wird das hier dann einfach 0. Oder ist mein gesamter Ansatz falsch? $\begin{eqnarray} s(y) = \int_0^y \! \frac{d}{dy} [F(x)] \, dx \end{eqnarray}$ Den bei Anwendung der Gleichen Formel von g nach g' (siehe Loesung) wurde aus (x+y)F(x) -> dann ja auch F(x) bzw (1+0)F(x)
21.08.2011, 13:32	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, unter dem Integralzeichen wird der Ausdruck F(x) nach "y" abgeleitet; F(x) ist aber selbst nicht von "y" abhängig und wird dadruch "0". Betrachte die Ausgangsfunktion: G(x,y) = (x +y) * F(x) = xF(x) + y F(x) F(x) ist nicht in Abhängigkeit von "y" definiert, "y" erscheint nur in der Klammer (x+y). In der Formel wird nun G(x,y) zum Berechnen der 1. Ableitung nach "y" unter dem Integralzeichen abgeleitet. Auch hier ist der Ausdruck "x * F(x)" gleich "0", weil hier "y" nicht auftaucht. Dann wird "y * F(x)" nach der Produktregel nach y abgeleitet; die Ableitung von "y" ist also "1", die Ableitung von F(x) nach "y" aber wiederum wieder "0". Es bleibt als Ergebnis unter dem Integral (Beachte die Produktregel beim Differenzieren): F(x) Beispiel: Leite die Funktion g(x,y) = f(x) = a * x^2 nach "y" ab; in dieser Funktion erscheint die Variabel "y" nicht, dieser Ausdruck wird also "0". Man muss bei solchen Aufgaben also immer darauf achten, wo welche Variablen auftauchen (bzw. nicht auftauchen). Zudem ist es wichtig, ob sich durch die Anwendung der Formel irgendwo Variabeln "verändern". Ergänzung: Du kannst es Dir hier aber zum Berechnen der 2. Ableitung etwas leichter machen mit dem Hinweis, der auch in der Lösung angedeudet ist: $\begin{eqnarray} s(y) = \int_0^y \! F(x) \, dx \end{eqnarray}$ Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung kann man dieses Integral durch eine Stammfunktion beschreiben; wir wollen sie T(y) nennen. Für T(y) gilt dann also wiederum unter Berufung auf diesen Satz (Achtung: wir leiten nach "y" ab, es sei T'(y) = t(y)): T'(y) = t(y) = F(y) (Es ist eventuell verwirrend, dass aufgrund unser Ausgangssitzuation "F(y)" mit dem Großbuchstabe "F" auftaucht). Schaue Dir eventuell den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nochmals an. Gruß Christian

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