Endliche Menge

19.08.2011, 20:42	Pustefix91	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Menge Guten Abend, ich habe mich hier an einem Beweis versucht, komme aber nicht wirklich weiter. Es geht um folgendes: Vor: Seien A, B Mengen. Sei A endlich Beh: $\begin{eqnarray} A\subseteq B \Rightarrow \|A\| \leq \|B\| \end{eqnarray}$ Bew: Angenommen $\begin{eqnarray} \|A\| > \|B\| \end{eqnarray}$ . Da A endlich ist existiert ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f: \left\{1,2,...,n \right\} \rightarrow A \end{eqnarray}$ bijektiv. Das heißt \|A\| = n. Da n > \|B\| nach Annahme ist, muss B ebenfalls endlich sein d.h es gibt ein $\begin{eqnarray} m \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: B\rightarrow \left\{1,2,...,m \right\} \end{eqnarray}$ bijektiv. Nun mache ich eine Einschränkung bei f und nenne diese Abbildung mal $\begin{eqnarray} h: \left\{1,2..,m\right\} \rightarrow A \end{eqnarray}$ . Dann muss $\begin{eqnarray} h \cdot g: B \rightarrow A \end{eqnarray}$ injektiv sein, da m < n. Da aber nun $\begin{eqnarray} A \subseteq B \end{eqnarray}$ , kann die Funktion nicht injektiv sein. Dies ist ein Widerspruch. Irgendwie gefällt mir meine Argumentation nicht wirklich. Stimmt das überhaupt? Ist der Beweis so korrekt? Falls nein, was ist falsch? Falls ja, wie geht es eleganter? Schönen Gruß Pustefix91
19.08.2011, 21:44	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray} B = A \cup (B \setminus A) \end{eqnarray}$ .
21.08.2011, 10:31	Pustefix91	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun es ist $\begin{eqnarray} \|B\| = m = n + \|B \setminus A\| \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} A \cap (B \setminus A) = \left\{ \right\} \end{eqnarray}$ . Also würde ich nun so weiter argumentieren: ... Da $\begin{eqnarray} A\subseteq B \Rightarrow B = A \cup (B \setminus A) \Rightarrow \|B\| = m = n + \|B \setminus A\| \Rightarrow \exists x_{1} \in B \setminus A, x_{2} \in A: x_{1} \neq x_{2} \wedge h \cdot g (x_{1}) = h \cdot g(x_{2}) \end{eqnarray}$ d.h $\begin{eqnarray} h \cdot g \end{eqnarray}$ ist nicht injektiv. Ist das so in ordnung?

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