Transformation von Gram-Matrizen

20.08.2011, 08:20	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation von Gram-Matrizen Transformation von Gram-Matrizen Hallo Leute, in meinem Skript stehen folgende Sachen, leider ohne Beweis. Könntet ihr bitte mal schauen, ob mein Beweis der Standardbeweis ist? Seien $\begin{eqnarray} A = (v_1, \dots, v_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B = (w_1, \dots, w_n) \end{eqnarray}$ zwei Basen des endlichdimensionaler Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ eine Bilinearform auf V. Dann heißt $\begin{eqnarray} M_B(s) = \begin{pmatrix}s(v_1,v_1) & \dots & s(v_1,v_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ s(v_n,v_1) & \dots & s(v_n,v_n)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die (Gramsche Matrix) von $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} M_B(s) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} s(v,w) = v_B^T M_B(s) w_B \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v,w \in V \end{eqnarray}$ . Jetzt zur Transformation: Bezeichne $\begin{eqnarray} T_{B,A} \end{eqnarray}$ die Transformationsmatrix des Basiswechsel von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} v_B = T_{B,A} v_A \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} M_A(s) = T_{B,A}^T M_B(s) T_{B,A} \end{eqnarray}$ Mein Beweis: Es gilt ja $\begin{eqnarray} v_B = T_{B,A} v_A \text{ und } w_B = T_{B,A} w_B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_B^T M_B(s) w_B = (T_{B,A} v_A)^T M_B(s) (T_{B,A} w_B) = v_A^T T_{B,A}^T M_B(s) T_{B,A} w_B \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} M_A(s) = T_{B,A}^T M_B(s) T_{B,A} \end{eqnarray}$ . Nun finde ich persönlich, dass mein Beweis ein bisschen viel über Notation geht. Meine Frage ist, ob das der Standardbeweis ist! Danke
20.08.2011, 10:27	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformation von Gram-Matrizen Da hat sich ein Tipp-Fehler reingeschlichen: $\begin{eqnarray} v_B = T_{B,A} v_A \text{ und } w_B = T_{B,A} w_A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_B^T M_B(s) w_B = (T_{B,A} v_A)^T M_B(s) (T_{B,A} w_A) = v_A^T T_{B,A}^T M_B(s) T_{B,A} w_A \end{eqnarray}$

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