b-adischer Bruch, funktion nicht differenzierbar

19.12.2006, 19:32

SilverBullet

b-adischer Bruch, funktion nicht differenzierbar

Hi hab hier ne Zusatzaufgabe (ist ne schwere * Aufgabe) und mit dieser komme ich absolut nicht zurecht. Hoffe ihr könnt ein wenig helfen.

Aufgabe :

Zitat:

Zeigen sie, dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^\infty~\frac{\{10^nx\}}{10^n} \end{eqnarray*}$

in keinem $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist.

TIP :
Es genügt $\begin{eqnarray*} x \in [0,1) \end{eqnarray*}$ zu betrachten (Wieso?).

Man kann $\begin{eqnarray*} x = \sum_{m=1}^\infty~a_m 10^{-m} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} a_m \in \{0,...,9\} \end{eqnarray*}$ schreiben.
Definieren sie

$\begin{eqnarray*} hm=\begin{cases} -10^{-m}, & \text{falls }a_m = 4\text{ oder 9} \\ 10^{-m}, & \text{ sonst } \end{cases} \end{eqnarray*}$

und betrachten sie den Differenzquotienten $\begin{eqnarray*} \frac{f(x+h_m) - f(x)}{h_m} \end{eqnarray*}$

Weiß jetzt nicht so richtig wie ich da rangehen soll ?
Kann mir da jmd nen Ansatz geben ?

mfg Silver

19.12.2006, 23:27

Leopold

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Was bedeutet denn die geschweifte Klammer im Zähler? Könntest du das einmal erklären?

20.12.2006, 00:21

SilverBullet

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Ohh Mist ich wusste ich hab was vergessen unglücklich

Ok also :

$\begin{eqnarray*} \{y\} = min|y - m| m \in Z \end{eqnarray*}$

Also die Klammer gibt den Abstand zur nächstgelegenen ganzen Zahl an.
Kann also nur 0 bis 0,5 werden.

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