Hilfe bei Extremwerte und Mittelwertsatz

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20.08.2011, 14:39	AaliyahDana	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe bei Extremwerte und Mittelwertsatz Meine Frage: Hallo, Ich versuche gerade eine Hausaufgabe zu lösen und komme nicht wirklich weiter wäre echt nett, wenn mir jemand erklären kann wie ich vorgehen soll. Hier die Aufgabe: Extremwerte und Monotonieverhalten untersuchen/bestimmen. f:[0,3[ ---> R , f(x) = x-2/(3-x)^2 Meine Ideen: Also ich würde zu erst die Funktion ableiten. f'(x)= 3x^2 -22x+27/(x^2-9x-9)^2 Jetzt würde ich die Nullstelle von f'(x) berechnen aber ich bekomme keine genauen Nullstellen nur eine ungefähre Nullstelle: x1 = 5,77481774 x2 = 1,55848156 Und jetzt komme ich nicht mehr weiter Danke schon mal im Voraus für eure Antworten Mfg
20.08.2011, 14:52	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Um welche Funktion geht es hier bitte? $\begin{eqnarray} f(x) = x-\frac 2{(3-x)^2} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f(x) = \frac {x-2}{(3-x)^2} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f(x)= (\frac {x-2}{3-x})^2 \end{eqnarray}$ oder ... Nachdem was Du geschrieben hast wäre es die erste, aber da habe ich so meine Zweifel, ob das wirklich die Funktion ist, die in Deiner Aufgabe steht. 2. Wie kommst Du auf den Nenner deiner Ableitung? Vielleicht noch mal binomische Formeln wiederholen? 3. Sollte es die zweite Funktion sein, dann lies Dir die Quotientenregel noch mal durch, oder nutze die Produktregel.
20.08.2011, 15:22	AaliyahDana	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine natürlich die 2.Funktion wie kommst du denn bitte auf die anderen Funktionen Menooo ist meine Ableitung....
20.08.2011, 15:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil Du keine Klammern gesetzt hast, daher hab ich mal ein wenig herumgeraten. Also geht es um $\begin{eqnarray} f(x) = \frac {x-2}{(3-x)^2} \end{eqnarray}$ Du hast zwei Möglichkeiten: Entweder die Quotientenregel (ausmultiplizieren solltest Du dabei wenn möglich vermeiden) oder die Produktregel in der Form $\begin{eqnarray} f(x) = \frac {x-2}{(3-x)^2}=(x-2)(3-x)^{-2} \end{eqnarray}$
20.08.2011, 15:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
... oder eine dritte Möglichkeit: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x-2}{(x-3)^2} = \frac{\left( x-3 \right) + 1}{(x-3)^2} = \frac{1}{x-3} + \frac{1}{(x-3)^2} \end{eqnarray}$ Und jetzt brauchst du weder Produkt- noch Quotientenregel. Und die Kettenregel hast du auch vorher schon gebraucht.
20.08.2011, 16:41	AaliyahDana	Auf diesen Beitrag antworten »
danke an euch... ich hab es jetz tmit der Quotientenregel versucht und folgendes herhaus bekommen: f'(x) = (3-x)^2 + (6+2x) (x-2) : (9-x^2) Ist das richtig so ?? Und als Nullstelle habe ich jetzt -3 raus Wenn es richtig ist wie gehe ich weiter vor um Extremwerte festzustellen und wie untersuche ich auf Monotonieverhalten ? Danke schon mal
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20.08.2011, 20:41	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch auf die Gefahr hin mich bei Dir unbeliebt zu machen: Was ist so schwer daran auf die richtige Klammersetzung zu achten? Dein Term heisst $\begin{eqnarray} f'(x) = (3-x)^2 + \frac{(6+2x) (x-2) }{9-x^2} \end{eqnarray}$ und das ist ganz sicher nicht die Ableitung von f. Sieht man mal großzügig über die fehlende Klammer hinweg, so bleibt auf jeden Fall ein falscher Nenner. Die Quotientenregel lautet doch $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \Rightarrow f'(x)=\frac{v(x)u'(x)-v'(x)u(x)}{(v(x))^2} \end{eqnarray}$ Und wir haben $\begin{eqnarray} u(x)=x-2 \; und \; v(x)=(3-x)^2 \end{eqnarray}$ Wie lauten dann die Ableitungen von u und v? Das setzt Du in die Formel ein und fasst geeignet zusammen.
20.08.2011, 21:17	AaliyahDana	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... ich hab doch Klammern gesetzt oder werden sie etwa nicht angezeigt komisch. Tut mir leid ich kann die Funktionen nicht so schreiben wie ihr das macht bin neu hier. Also ich jetzt mein Zähler richtig ?? mit den Klammern : (3-x)^2 +(6+2x)(x-2) jetzt ist mein Nenner: (3-x)^4 Ist das dann so richitg??? Und Nun habe ich f'(-3) = 0
20.08.2011, 21:34	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Klammern, die Du gesetzt hast, sind schon zu sehen, aber Du hast entscheidende Klammern weggelassen. Bei richtiger Klammersetzung müsstest Dein Term von vorherigen Posting nicht (3-x)^2 +(6+2x)(x-2) : (9-x²) sondern ((3-x)^2 +(6+2x)(x-2)) : (9-x²) heissen. Das ist in etwa so als würde ich dich nur fragen "wie alt?" und möchte damit das Alter deines Handies wissen. Du würdest aber vermutlich eher die Frage nach deinem Alter beantworten. Es ist also wichtig auf die korrekte Darstellung zu achten, wenn man eine korrekte Antwort erwartet. Zurück zur Aufgabe: Im Zähler ist noch ein Vorzeichenfehler und ich würde gerne wissen, wie Du auf x=-3 kommst. Wenn Du das in deinen Term einsetzt, kommt nämlich nicht 0 heraus. ( $\begin{eqnarray} 6²+(6-6)(-3-2)=36\neq0 \end{eqnarray}$ ) Du musst den Zähler Null setzen und nach x umformen.
20.08.2011, 22:47	AaliyahDana	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso das hattest du mit dem Klammern gemeint. Da hast du natürlich recht, ich werde daraufin Zukunft achten. Ich denke ich hab den Vorzeichenfehler gefunden: ((3-x)^2 + (6-2x)(x-2)) Oder?? so und um die Nullstelle heraus zu bekommen habe ich folgendes gemacht: (3-x)(3-x) + (6-2x) = 0 / : (3-x) /-6/-3 -x-2x = -9 / -3) x=3 Dankeee dir du hast mich echt weiter geholfen . Jetzt hoffe ich, dass es auch richtigist.... sieht zumindestens so aus.
20.08.2011, 23:33	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss Dich leider ein weiteres mal enttäuschen. Du kannst in Deiner Rechnung nicht einfach einen Term wegfallen lassen, nur damit die Rechnung einfacher wird. Richtig ist 0 = (3-x)^2 + (6-2x)(x-2) = (9-6x+x²) + (6x-2x²-12+4x) = -x²+4x-3 Diese Gleichung musst Du lösen, um die möglichen Extrema zu berechnen. Danach setzt Du das Ergebnis in die zweite Ableitung ein, oder begründest mit dem Vorzeichenwechselkriterium, welche Art von Extrem vorliegt.
21.08.2011, 11:55	AaliyahDana	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich hab es jetzt mit der P-Q - Formel berechnet: X1 = 3 und X2 = 1 Dann hab ich das Ganze in f '' (x) eingesetzt: f ''(x) = ((-2x+4)(3-x)^4 + (12-4x)^4 (-x^2 +4x - 3)) / (3-x)^6 Für f ''(3) =0 und für f ''(1) = 0,5 -------> TP (1/f(1)) f(1) = -1/4 Ich hoffe wirklich, dass es richtig ist.... Wenn ja wie sollte ich nun das Monotonieverhalten bestimmen ??? Im Tutorium hab ich das nicht richtig verstanden, weil der Tutor die 1. Ableitung genommen hat, wobei in der Aufgabe stand : Unsersuchen sie das Monotonieverhalten der Funktion. Wieso hat er also nicht mit f(x) gearbeitet?? Ich hätte jetzt eine Wertetabelle erstellt im Intervall: (0,3) und dann geguckt ob die Funktion fällt oder steigt. Könnte man das so machen ?? Danke im Voraus
21.08.2011, 18:57	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösungen 1 und 3 stimmen, wobei sich die zweite Ableitung noch kürzen lässt. Das Monotonieverhalten gibt ja gerade wieder, wo der Graph steigt und wo er fällt, also wo die erste Ableitung positiv (=Graph steigt) und wo sie negativ (=Graph fällt) ist. Da Du bereits die Nullstellen kennst, sollte der Rest nicht mehr so schwer sein.

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