(Tbc)-Untersuchung-Stochastik

20.08.2011, 15:25

Studii

(Tbc)-Untersuchung-Stochastik

Hi,
Hänge bei einer Aufgabe fest, obwohl ich die lösung habe. Habe schon im Forum gesucht, aber nichts Brauchbares gefunden. Es geht um Folgende Aufgabe.

Die Zuverlässigkeit einer Tuberkulose (Tbc)-Röntgenuntersuchung sei durch folgende
Angaben gekennzeichnet:
• 90 % der Tbc-kranken Personen werden durch Röntgen entdeckt
• 99 % der Tbc-freien Personen werden als solche erkannt.
Aus einer großen Bevölkerung, von der 0.1% Tbc-krank sind, wird nun eine zufällig herausgegriffene Person geröntgt und
als Tbc-verdächtig eingestuft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person wirklich Tbc-krank ist?

Ich bin folgendermaßen vorgegangen.

A: Patient ist krank
B: Patient wird als krank erkannt.

$\begin{eqnarray*} P(A)=0,001 und P(A^{c})=0,999 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(B|A)=0,9 \end{eqnarray*}$ (Da 0,1% aus der Bevölkerung krank sind.)

$\begin{eqnarray*} P(B|A^{c})=0,99 \end{eqnarray*}$ (Da 99% erkannt werden obwohl sie nicht krank sind)

Und gesucht ist: $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$

(Formel von Bayes)
$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A)*P(B|A)}{P(A)*P(B|A)+P(A^{c})*P(B|A^{c}) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{0,001*0,9}{0,001*0,9+0,999*0,99 }=0,00091 \end{eqnarray*}$

In der lösung steht aber:

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A)*P(B|A)}{P(A)*P(B|A)+P(A^{c})*P(B|A^{c}) } =0,083 \end{eqnarray*}$

Leider ohne Zwischenschritte.

aber da ich mir bei allen WKs sicher bin, außer bei $\begin{eqnarray*} P(B|A^{c})=0,99 \end{eqnarray*}$
Diese müsste dann nach der Lösung (wenn der rest von mir stimmt) bei 0,01 liegen.
Aber wo ist dann bei meinen 0,99 der Denkfehler?
Denn $\begin{eqnarray*} P(B|A^{c}) \end{eqnarray*}$ steht doch schon in der Aufgabe "• 99 % der Tbc-freien Personen werden als solche erkannt."

Danke für Hilfe

Studii

20.08.2011, 17:07

Felix

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Zitat:

• 99 % der Tbc-freien Personen werden als solche erkannt.

Soll wahrscheinlich heißen, dass 99 Prozent als nicht krank erkannt werden Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(B|A)=0,9 \end{eqnarray*}$ (Da 0,1% aus der Bevölkerung krank sind.)

nein die Begründung ist einfach, dass 90 Prozent der Kranken als solche erkannt werden !

20.08.2011, 17:11

frank09

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RE: (Tbc)-Untersuchung-Stochastik

Zitat:

• 99 % der Tbc-freien Personen werden als solche erkannt.

Heißt im Umkehrschluss, 1% wird nicht als "gesund" erkannt, also als krank "erkannt"/ dafür gehalten (= $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ), obwohl er gesund ist(= $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ )

somit $\begin{eqnarray*} P(B|A^{c})=0,01 \end{eqnarray*}$

20.08.2011, 17:30

Studii

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Ah mist logisch.

Texte verstehen war noch nie meine stärke.

Felix, du hast mein denkfehler absolut richtig erkannt.

,Ich dachte nämlich "als solche erkannt" = "als kranke erkannt"
Ich depp!!

Aber 0,083 ist trotzdem erschreckend wenig.

Vielen dank nochmal euch beiden.

Gruß
Studii

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