Unitäre Matrix - Eigenvektor

20.08.2011, 17:53	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Unitäre Matrix - Eigenvektor Meine Frage: Warum besitzt die Norm der Eigenvektoren einer unitären Matrix den Betrag 1 ??? Meine Ideen: Hoffe das kann mir jemand sagen... Danke
20.08.2011, 18:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Eigenwerte haben den Betrag 1 ( siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A4re_Matrix ) . Mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ Eigenvektor ist $\begin{eqnarray} \alpha x \end{eqnarray}$ Eigenvektor, also lässt sich über die Norm eines Eigenvektors nichts aussagen.
20.08.2011, 18:20	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau dass soll ich in einer Aufgabe ja eigentlich auch beweisen: Beweise: dass für $\begin{eqnarray} U \in \mathbb C^{nxn} \end{eqnarray}$ unitär, gilt: $\begin{eqnarray} eig(U) \subset \left\{ z \| z \in \mathbb C , \|z\| = 1\right\} \end{eqnarray}$ Und nun steht in der Lösung als erster Hinweis: UU* = UU = I (klar) und dann: Sei also $\begin{eqnarray} \lambda \in eig(U) \end{eqnarray}$ dann gibt es ein $\begin{eqnarray} v \in \mathbb C^{nxn} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\|v\|\| = 1 \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} Uv = \lambda v \end{eqnarray*}$ ist. dann geht's natürlich noch weiter, aber warum hier \|\|v\|\| = 1 ??? Danke fürs antworten
21.08.2011, 10:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
o.B.d.A. $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|=1 \end{eqnarray}$ , denn für einen Eigenvektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} \frac v {\|\|v\|\|} \end{eqnarray}$ Eigenvektor und $\begin{eqnarray} \|\|\frac v {\|\|v\|\|}\|\|=1 \end{eqnarray}$ .
21.08.2011, 10:47	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay und wann kann ich dieses "ohne Betrachtung der Allgemeinheit" oder was das heisst anwenden, immer wenn es passt oder gibt's da auch Regeln für?? Danke
21.08.2011, 11:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"ohne Beschränkung der Allgemeinheit" benutzt man immer dann, wenn's hilft. Hier hilft es. Wenn es einen Eigenwert gibt, dann gibt es einen Eigenvektor. Es gibt einen Eigenvektor, man nehme einen und nenne ihn v. Wenn es einen Eigenvektor v gibt, dann gibt es einen normierten Eigenvektor v/\|\|v\|\|. Es gibt einen normierten Eigenvektor, man nehme einen normierten Eigenvektor und nenne ihn v.
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