Aufgabe zur stetigkeit

19.12.2006, 20:13

Buef

Aufgabe zur stetigkeit

Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig und gilt

$\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)*f(y) \text{ für alle } x,y, \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

so ist entweder f die konstante Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ oder es ist $\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \text{ für } a=f(1) > 0 \end{eqnarray*}$

Das ist klar, wenn f(x)=0 ist, so ist auch das Produkt aus 0*f(y)=0

Was ich mir überlegt habe ist, dass f(x) cos sein kann und f(y) sin sein kann, da diese stetig sind, oder?

19.12.2006, 20:33

Dual Space

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RE: Aufgabe zur stetigkeit

Zitat:

Original von Buef
Was ich mir überlegt habe ist, dass f(x) cos sein kann und f(y) sin sein kann, da diese stetig sind, oder?

Nein. Mit cos und sin kommst du hier nicht weiter! unglücklich

19.12.2006, 20:35

SilverBullet

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Zitat:

Das ist klar, wenn f(x)=0 ist, so ist auch das Produkt aus 0*f(y)=0

Wenn f(x) = 0 ist dann heißt das für deine Aufgabe, dass die Funktion f alles was sie bekommt auf 0 abbildet.

Also wäre das :
f(x + y) = f(x) * f(y)
0 = 0 * 0

Also für den Fall stimmt es.

Wenn $\begin{eqnarray*} f(x) = a^x \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} f(x+y) = a^{x + y} = a^x * a^y = f(x) * f(y) \end{eqnarray*}$

Also klappt das auch.

So wie ich die Aufgabe verstehe musst du aber zeigen, das es nur diese beiden Möglichkeiten gibt. Wie man das allerdings macht weiß ich leider nicht. Vielleicht hat jemand anders ne Idee ?

19.12.2006, 20:42

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zeigen sie

19.12.2006, 21:18

Buef

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Zitat:

Original von Arthur Dent
zeigen sie

ist das nicht eine andere aufgabe, da bei uns

Zitat:

so ist entweder f die konstante Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ oder es ist $\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \text{ für } a=f(1) > 0 \end{eqnarray*}$

und bei der verlinkten

Zitat:

f(1)=exp(c)

aus meiner sicht ist dieses ein unterschied

19.12.2006, 21:31

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Zitat:

Original von Buef
aus meiner sicht ist dieses ein unterschied

Unerheblich - du musst halt noch den Trivialfall $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ betrachten, der ist in einer Zeile abgehakt.

DerRest ist vollkommen identisch, denn ob man $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ nun als positiven Wert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ oder als $\begin{eqnarray*} \exp(c) \end{eqnarray*}$ bezeichnet, ist ja nun vollkommen wurst.

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