Grenzwert von Funktionen gegen undendlich

21.08.2011, 09:20

moclus

Grenzwert von Funktionen gegen undendlich

Ich weiß nicht wie ich das rechnerisch nachweisen kann das dieses Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ ist

Folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm\infty } \frac{3x^2-2}{x+1} \end{eqnarray*}$

Nun sieht man das der Zählergrad natürlich immer positiv ist und der Nenner sein Vorzeichen wechseln würde wenn man verschiedene Zahlen einsetzen würde.
Also weiß ich ja so gesehen schon das es: $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ sein muss.

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty } \frac{x(3x-\frac{2}{x}) }{x(1+\frac{1}{x} )} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty } \frac{3x-0}{1} \end{eqnarray*}$
rechnerisch ist nun nicht mehr nachweisbar das Zähler immer positiv bleibt und der Nenner sein Vorzeichen wechseln würde.

Darf man jetzt: $\begin{eqnarray*} \frac{+\infty }{\pm \infty } = \pm \infty \end{eqnarray*}$
schreiben?

danke im voraus

21.08.2011, 09:47

Iorek

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RE: Grenzwert von Funktionen gegen undendlich

Zitat:

Original von moclus
Darf man jetzt: $\begin{eqnarray*} \frac{+\infty }{\pm \infty } = \pm \infty \end{eqnarray*}$
schreiben?

Nein. Und schlag dir solche Schreibweisen bitte direkt wieder aus dem Kopf! $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist erstmal nur ein Symbol, mit dem man nicht ohne weiteres rechnen kann.

Auch $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\pm\infty} \frac {3x-0}{1} \end{eqnarray*}$ ist so nicht richtig, du kannst nicht einfach den Limes auf die Teile anwenden, wo es dir gerade gefällt und andere einfach stehen lassen.

Ausklammern von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ war aber schonmal gut, wie wäre es, wenn du jetzt einfach beide Grenzwerte getrennt voneinander betrachtest?

21.08.2011, 09:49

Christian_P

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morgen

Ich würde die Therme dividieren (Polynomdivision) , vielleicht kann man dann noch besser erkennen welches Glied sich bei wachsendem x wie entwickelt. Vielleicht dann einfach die Grenzwertsätze nutzen.
Ich weiß nicht ob es dir hilft, vielleicht können andere besser helfen.

lg
Christian

21.08.2011, 09:53

Grouser

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Bah, die Schreibweise ist so grauenhaft... Aber deine Vorgehensweise stimmt. Es wechselt nun halt nicht mehr der Nenner, sondern der Zähler sein vorzeichen. Schreib das aber bitte nicht so...

$\begin{eqnarray*} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3x^2-2}{x+1} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3x- \frac{2}{x}}{1+ \frac{1}{x}} \overset{(*)}{=} \infty \end{eqnarray*}$ reicht aus.

Wenn du es begründen willst, schreibst du Nebenrechnungen dazu:

(*) $\begin{eqnarray*} \lim _{x \rightarrow \infty} 3x = \infty, \ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2}{x} = 0, \ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0 \end{eqnarray*}$

"Unendlich einzusetzen" und daher einfach die 0 dahinzuschreiben ist nicht nur unschön, sondern auch irreführend.

Analog eben für $\begin{eqnarray*} x \rightarrow - \infty \end{eqnarray*}$

edit: geschockt

Da sind heute morgen aber ein paar Leute ganz flink unterwegs... Ich bin raus Wink

21.08.2011, 10:02

moclus

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Iorek wie meintest du das auf die Teile anwenden wo es mir grade gefällt, muss ich das auf bestimmte Zahlen anwenden? Ich schreib es wie gewöhnlich eigentlich immer vor den Term :/

21.08.2011, 10:05

Iorek

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Aus $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac {3x-\frac 2x}{1+\frac 1x} \end{eqnarray*}$ wird bei dir plötzlich $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac {3x-0}{1+0} \end{eqnarray*}$ , das ist so nicht richtig.

21.08.2011, 10:08

moclus

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das Zeichen hätte verschwinden müssen nachdem ich meine Nullfolgen erstellt hab?

edit: und wenn ich ehrlich bin, bin ich mir nicht so sicher wie ich bei der "Unendlichkeitsbetrachtung" eine separate $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ betrachtung vornehmen kann :/ ...

21.08.2011, 10:50

Iorek

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Nein, es bleibt einfach alles so stehen und du machst direkt den Grenzübergang. Du kannst nicht $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac 1x=0 \end{eqnarray*}$ einfach einsetzen und das $\begin{eqnarray*} 3x \end{eqnarray*}$ komplett unbeachtet lassen.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac {\overbrace{x+\frac {5}{x^2}}^{\rightarrow \infty}}{\underbrace{2+\frac 1x}_{\rightarrow 2}}=\infty \end{eqnarray*}$ , eventuell noch unter Erwähnung der Grenzwertsätze und der kleinen Nebenrechnung, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac 1x=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wie wäre es danach einfach mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to -\infty} \end{eqnarray*}$ ?

21.08.2011, 16:50

moclus

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kannst du mir vllt einen ansatz dafür geben? Ich weiß nicht wie ich da anfangen soll ..
bei der betrachtung gegen eine bestimmte Zahl würd ich eine Folge einsetzen und das Vorzeichen ändern ..

22.08.2011, 08:16

klarsoweit

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RE: Grenzwert von Funktionen gegen undendlich
Ich halte folgendes Verfahren für praktischer:

Für x > 1 ist $\begin{eqnarray*} \frac{3x^2-2}{x+1} \geq \frac{3x^2}{x} = 3x \end{eqnarray*}$

Jetzt sieht man leicht, daß der rechte Term gegen unendlich geht, also geht der linke Term auch gegen unendlich.

22.08.2011, 14:36

Nubler

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RE: Grenzwert von Funktionen gegen undendlich

Zitat:

Original von klarsoweit
Für x > 1 ist $\begin{eqnarray*} \frac{3x^2-2}{x+1} \geq \frac{3x^2}{x} = 3x \end{eqnarray*}$

kann nicht stimmen

22.08.2011, 15:15

klarsoweit

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RE: Grenzwert von Funktionen gegen undendlich
Hast Recht. Hammer

Richtig ist natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{3x^2-2}{x+1} \leq \frac{3x^2}{x} \end{eqnarray*}$ , was aber nicht hilft. Also machen wir es so:

Für x > 1 ist $\begin{eqnarray*} \frac{3x^2-2}{x+1} \geq \frac{3x^2-2x^2}{x+x} = \frac 1 2 x \end{eqnarray*}$

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