Potenzreihenentwicklung

21.08.2011, 09:51	Potenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihenentwicklung Man entwickle die folgende Funktion in eine Potenzreihe! $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{2x^3 - 42x^2 + 293x - 682}{(x - 4)(x - 7)^3} \end{eqnarray}$ Ich habe zunächst Partialbruchzerlegung gemacht und bin auf $\begin{eqnarray} \frac{2}{(x-4)}-\frac{1}{(x-7)^3} \end{eqnarray}$ Jetz weiß ich einfach nicht wo ich ansetzen/welche Formel ich nehmen soll um eine Potenzreihe zu entwickeln.
21.08.2011, 10:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die geometrische Reihe hilft weiter, denn es ist $\begin{eqnarray} \frac 2 {x-4}=-\frac 1 2 \sum_{k=0}^{\infty}(\frac x 4)^k \end{eqnarray}$ , für \|x\|<4 , wenn ich mich nicht verrechnet habe. Für den zweiten Term geht's so ähnlich, siehe hier : http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
21.08.2011, 11:55	Potenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe! Allerdings weiß ich nicht wie ich mit $\begin{eqnarray} (x-7)^3 \end{eqnarray}$ umgehen soll. Kann ich denn Bruch einfach 2 mal integrieren und entsprechende Summenformel, dann auch? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^2}{(k+1)(k+2)}(\frac{x}{4})^{k} \end{eqnarray}$ Stimmt nicht oder ?
21.08.2011, 11:58	Potenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Es soll $\begin{eqnarray} (\frac{x}{7})^{k} \end{eqnarray}$ heißen!
21.08.2011, 12:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich mir auch noch nicht überlegt. Vielleicht funktioniert der Ansatz $\begin{eqnarray} \frac 1 {(x-7)^3}=(\frac 1 {x-7})^3=(\sum...)^3 \end{eqnarray}$ wobei die Summe wieder die geometrische Reihe ist.
21.08.2011, 12:18	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: Cauchy-Produkt!
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21.08.2011, 12:55	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfacher geht es mit: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(x-7)^3}=\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}(\frac{1}{x-7}) \end{eqnarray}$
21.08.2011, 13:13	Tafelwerk	Auf diesen Beitrag antworten »
Huggys Ansatz war auch meine Idee . Allerdings hatte ich fälschlicherweise die Summenformel auch wieder 2 mal integriert. wäre für den 2. Bruch folgende Summe richtig: $\begin{eqnarray} \frac{1}{14}\sum\limits_{k=0}^\infty k(k-1)\frac{x^{k-2}}{7^{k}} \end{eqnarray}$ ? Vielen Dank! EDIT : Tafelwerk = Potenz
21.08.2011, 13:41	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fehlt noch ein Minuszeichen vor den Ganzen, da man von 1/(x-7) ausgeht und nicht von 1/(7-x). Sonst richtig.

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